Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

[Cốc Cốc]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + 2b - c > 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


$P = d\frac{a + c +2}{a(b+c) + a + b + 1} - d\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b - c)}$


(Trích đề luyện hàng tuần thầy Phạm Tuấn Khải)
Mong mn làm cách nào đó dễ hiểu, xúc tích giùm em. Em cảm ơn ạ!

Bài viết liên quan:

• bđt
• Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng : $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})\geq 64$
• Cho các số $x,y,z$ thỏa mãn $3xy\geq z^2, xy+yz+zx\neq 0$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$T=\dfrac{1}{x^2+z^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\sqrt\df rac{(x+y)^2+4z^2}{2}}$$
• Bất đẳng thức chưa tìm được lời giải!
• [BT] Tìm GTLN

[Mr_Trang]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + 2b - c > 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


$P = d\frac{a + c +2}{a(b+c) + a + b + 1} - d\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b - c)}$


(Trích đề luyện hàng tuần thầy Phạm Tuấn Khải)
Mong mn làm cách nào đó dễ hiểu, xúc tích giùm em. Em cảm ơn ạ!

Em có thể tham khảo 2 lời giải tại "[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]"

Trước khi post bài, chú ý xem lại một số Topic cũ nhé em!

Đề của em có vấn đề phải không?, $d$ là hằng số???

[Cốc Cốc]

Em có thể tham khảo 2 lời giải tại "[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]"

Trước khi post bài, chú ý xem lại một số Topic cũ nhé em!

Đề của em có vấn đề phải không?, $d$ là hằng số???

Vâng ạ, em cảm ơn ạ!
d là trong chữ dfrac ạ, lần sau chỉ cần gõ frac thôi là đủ.

[NTDuy]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + 2b - c > 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:


$P = d\frac{a + c +2}{a(b+c) + a + b + 1} - d\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b - c)}$


(Trích đề luyện hàng tuần thầy Phạm Tuấn Khải)
Mong mn làm cách nào đó dễ hiểu, xúc tích giùm em. Em cảm ơn ạ!

Đáp án

Trên ý tưởng của $KA.2014$ , ta sẽ giải nó như sau :


Áp dụng BĐT AM - GM chúng ta có :

$ab + bc + ac + 2 = a^2 + b^2 + c^2 \geq a^2 + 2bc \Leftrightarrow 2ab + 2ac + 2 \geq a^2 + bc + ab + ac$

Khi đó :

$2\left(ab + ac \right) + 2 \geq \left(a + b \right)\left(a + c \right) \Leftrightarrow a\left(b + c \right) + a + b + 1 \geq \frac{\left(a + b \right)\left(a + c + 2 \right)}{2}$


$ \Leftrightarrow \frac{a + c + 2}{a\left(b + c \right) + a + b + 1} \leq \frac{2}{a + b}$

Mặt khác :

$\left(a + c \right)\left(a + b - 2c \right) \leq \frac{1}{4}\left(a + c + a + b - 2c \right) = \left(a + b \right)^2$


$ \Rightarrow \frac{a + b + 1}{\left(a + c \right)\left(a + 2b - c \right)} \geq \frac{a + b + 1}{\left(a + b \right)^2}$

Do đó suy ra

$P \leq \frac{2}{a + b} - \frac{a + b + 1}{\left(a + b \right)^2} = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{\left(a + b \right)^2} = \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{a + b} \right)^{2} \leq \frac{1}{4}$

Vậy GTLN của $P$ bằng $\frac{1}{4}$.