
Gửi bởi
Cốc Cốc
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + 2b - c > 0$ và $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P = d\frac{a + c +2}{a(b+c) + a + b + 1} - d\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b - c)}$
(Trích đề luyện hàng tuần thầy Phạm Tuấn Khải)
Mong mn làm cách nào đó dễ hiểu, xúc tích giùm em. Em cảm ơn ạ!
Đáp án 
Trên ý tưởng của $KA.2014$ , ta sẽ giải nó như sau :
Áp dụng BĐT AM - GM chúng ta có :
$ab + bc + ac + 2 = a^2 + b^2 + c^2 \geq a^2 + 2bc \Leftrightarrow 2ab + 2ac + 2 \geq a^2 + bc + ab + ac$
Khi đó : $2\left(ab + ac \right) + 2 \geq \left(a + b \right)\left(a + c \right) \Leftrightarrow a\left(b + c \right) + a + b + 1 \geq \frac{\left(a + b \right)\left(a + c + 2 \right)}{2}$
$ \Leftrightarrow \frac{a + c + 2}{a\left(b + c \right) + a + b + 1} \leq \frac{2}{a + b}$
Mặt khác : $\left(a + c \right)\left(a + b - 2c \right) \leq \frac{1}{4}\left(a + c + a + b - 2c \right) = \left(a + b \right)^2$
$ \Rightarrow \frac{a + b + 1}{\left(a + c \right)\left(a + 2b - c \right)} \geq \frac{a + b + 1}{\left(a + b \right)^2}$
Do đó suy ra $P \leq \frac{2}{a + b} - \frac{a + b + 1}{\left(a + b \right)^2} = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{\left(a + b \right)^2} = \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{a + b} \right)^{2} \leq \frac{1}{4}$
Vậy GTLN của $P$ bằng $\frac{1}{4}$.