Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109


    Mở đầu topic mình chúc cho diễn đàn sẽ phát triển thuận lợi.
    Quay lại chủ đề, hôm nay mình xin lập topic này để mọi người cùng nhau thảo luận về một vấn đề khá là quan trọng trong các kỳ thi đại hoc, đó là bài toán BĐT và Cực Trị. Trong topic này chúng ta không chú trọng giải bài mà sẽ cùng nhau thảo luận, phân tích cái hay cái đẹp, phương hướng để đi đến lời giải. Một bài toán sẽ có nhiều cách giả khác nhau và mọi cách sẽ có một cách định hướng khác nhau. các bạn sẽ nêu lên để mọi người cùng nhau học hỏi. Mong mọi người ủng hộ topic.

    Mở đầu là các kiến thức cơ bản. các bạn đọc ở topic sau : [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

    Chúng ta sẽ mở đầu với bài toán BĐT trong đề thi đại học khối A-2009:
    Bài 1: Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $x\left ( x+y+z \right )=3yz$. Chứng minh rằng:
    $\left ( x+y \right )^{3}+\left ( y+z \right )^{3}+3\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq 5\left ( y+z \right )^{3}$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Mở đầu topic mình chúc cho diễn đàn sẽ phát triển thuận lợi.
    Quay lại chủ đề, hôm nay mình xin lập topic này để mọi người cùng nhau thảo luận về một vấn đề khá là quan trọng trong các kỳ thi đại hoc, đó là bài toán BĐT và Cực Trị. Trong topic này chúng ta không chú trọng giải bài mà sẽ cùng nhau thảo luận, phân tích cái hay cái đẹp, phương hướng để đi đến loìa giải. Một bài toán sẽ có nhiều cách giả khác nhau và mọi cách sẽ có một cách định hướng khác nhau. các bạn sẽ nêu lên để mọi người cùng nhau học hỏi. Mong mọi người ủng hộ topic.

    Mở đầu là các kiến thức cơ bản. các bạn đọc ở topic sau : [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

    Chúng ta sẽ mở đàu với bài toán BĐT trong đề thi đại học khối A-2009:
    Bài 1: Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa $x\left ( x+y+z \right )=3yz$. Chứng minh rằng:
    $\left ( x+y \right )^{3}+\left ( y+z \right )^{3}+3\left ( x+y \right )\left ( x+z \right )\left ( y+z \right )\leq 5\left ( y+z \right )^{3}$
    Nhận xét: Ta thấy BĐT cần chứng minh đồng bậc và $y,z$ có vai trò như nhau; $x$ có vai trò đặc biệt. Từ đây ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa về BĐT đối xứng với hai biến. Với BĐT mới này ta hoàn toàn đưa về tổng hoặc tích. Từ đây ta sẽ khảo sát hàm số
    Lời giải: Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{x}$
    Giả thiết bài toán viết lại thành: $a+b+1=3ab$
    BĐT cần chứng minh tương đương với
    $\left ( 1+\frac{y}{x} \right )^{3}+\left ( 1+\frac{z}{x} \right )^{3}+3\left ( 1+\frac{y}{x} \right )\left ( 1+\frac{z}{x} \right )\left ( \frac{y}{x}+\frac{z}{x} \right )\leq 5\left ( \frac{y}{x}+\frac{z}{x} \right )^{3}$
    $\Leftrightarrow \left ( 1+a \right )^{3}+\left ( 1+b \right )^{3}+3\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( a+b \right )\leq 5\left ( a+b \right )^{3}$

    Các bạn hãy thử tiếp tục giải quyết bài toán trên như mình đã nhận xét.
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 28/08/14 lúc 06:47 PM.
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  2. Cám ơn Văn Ngọc Khánh, chihao, tinilam, luffy, ngocdoannguyen950 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Góp vui topic
    Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh
    $$ \ \ \ \dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+\dfrac {c}{\sqrt{c+a}} \geq \dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{2}}.$$
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  4. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Đóng góp cho topic. Tiếp theo em sẽ đi đến một ví dụ đơn giản. Đó là mổ xẻ bài toán khối A năm 2013.

    Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a + c)(b + c) = 4c^2$. Tìm GTNN của biểu thức :
    $$P = \frac{32a^3}{(b + 3c)^3} + \frac{32b^3}{(a + 3c)^3} - \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{c}$$
    Phân tích. Khi làm một bài toán bất đẳng thức , việc đoán điểm rơi là quan trọng nhất. Nó giúp ta định hướng cần làm gì ; áp dụng những bất đẳng thức gì để đánh giá. Bài toán trên cũng không ngoại lệ. Nhìn vào giả thiết cũng như biểu thức ta đều nhận thấy rằng có sự đối xứng giữa $a$ và $b$ do đó $a = b$ ( cũng giống như hệ phương trình đối xứng ) và chắc chắn sẽ bằng $kc$. Vấn đề ở đây là số $k$ ta tìm như thế nào. Đơn giản , khi ta thay $a = b = kc$ ngược lại giả thiết ta sẽ được : $(kc + c)(kc + c) = 4c^2$ hay $k = 1$ nên $a = b = c$ do đó sẽ có : GTNN của $P = 1 - \sqrt{2}$

    Đã có được điểm rơi , quan sát ở các biểu thức con có sự đồng bậc ba và đồng bậc hai ( ta thường nghĩ đến phép chia ). Nếu ở trong căn có dạng : $\sqrt{\left ( \frac{a}{c} \right )^2 + \left ( \frac{b}{c} \right )^2}$ thì ở ngoài bậc ba cũng có dạng tương tự khi xuất hiện $\frac{a}{c} ; \frac{b}{c}$ vậy nên ta sẽ đặt $x = \frac{a}{c} ; y = \frac{b}{c}$ điều này có nghĩa là bài toán trở thành : Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn : $x + y + xy = 3$ tìm GTNN của biểu thức :
    $$P = \frac{32x^3}{\left ( y + 3 \right )^3} + \frac{32y^3}{\left ( x + 3 \right )^3} - \sqrt{x^2 + y^2}$$
    Rõ ràng trên đó là một bài toán BĐT đối xứng hai biến ( dạng Viet ) với điểm rơi đã chọn $x = y = 1$ thường thì sẽ nghĩ ngay đến việc dồn về biến $xy$ hoặc $x + y$. Vậy thì ta hướng đến cách đưa biến về $x + y$. Khi đó $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x + y)^2 - 2xy} = \sqrt{(x + y)^2 + 2(x + y) - 6}$ (vì $xy = 3 - x - y$ ) vấn đề còn lại là đưa tổng $\frac{32x^3}{\left ( y + 3 \right )^3} + \frac{32y^3}{\left ( x + 3 \right )^3}$ về biến $x + y$. Với nhiều bạn quan sát đây là hai biểu thức có dạng $A^3 + B^3$. Nhiều bạn mà quan tâm đến việc học BĐT thì có lẽ đánh giá : $A^3 + B^3 \geq \frac{\left ( A + B \right )^3}{4}$. Khi đó chúng ta có :
    $$\frac{32x^3}{\left ( y + 3 \right )^3} + \frac{32y^3}{\left ( x + 3 \right )^3} \geq 8\left ( \frac{x}{y + 3} + \frac{y}{x + 3} \right )^3 = \left ( x + y - 1 \right )^3$$
    Do đó nếu đặt $t = x + y \geq 2$ ( vì $3 = xy + x + y \leq x + y + \frac{\left ( x + y \right )^2}{4} \Leftrightarrow x + y \geq 2$ ) ta sẽ được :
    $$P = f\left ( t \right ) = \geq \left ( t - 1 \right )^3 + \sqrt{t^2 + 2t - 6}$$
    Công việc còn lại là khảo sát hàm số $f\left ( t \right )$ ( điều này không khó , mình sẽ bỏ qua )
    Hoặc là ta có định hướng khác. Để đưa tổng đó về $x + y$ mà nhận thấy đó là bậc ba. Nên ta muốn đưa nó về bậc nhất. Nó sẽ khiến ta nghĩ ngay đến BĐT Cosi cho ba số dương. Tại sao ta lại nói bước đoán điểm rơi quan trọng là để ta sử dụng BĐT Cosi linh hoạt hơn. Vậy với $x = 1$ thì $\frac{x^3}{\left ( y + 3 \right )^3} = \frac{1}{64}$ do đó nếu dùng Cosi cho ba số ta sẽ có : $$\frac{x^3}{\left ( y + 3 \right )^3} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} \geq \frac{3x}{y + 3} ; \frac{y^3}{\left ( x + 3 \right )^3} + \frac{1}{64} + \frac{1}{64} \geq \frac{3y}{x + 3}$$
    Khi đó chúng ta có :
    $$\begin{align*} P &\geq 32\left ( \frac{3x}{y + 3} + \frac{3y}{x + 3} - \frac{1}{16} \right ) - \sqrt{\left ( x + y \right )^2 + 2(x + y) - 6} \\ &= 3(x + y) - 5 - \sqrt{\left ( x + y \right )^2 + 2(x + y) - 6} \end{align*}$$

    Bài toán kết thúc. $\blacksquare$

    Lời tựa :
    Nói chung bài viết trên mọi người sẽ thấy nhiều chữ và hơi dài nhưng đó là cảm xúc thật của em khi giải Toán , qua bài viết này em muốn nói đến tầm quan trọng của việc : '' chọn điểm rơi '' trong các bài toán BĐT. Hi vọng giúp ích cho các bạn 97er trong việc chinh phục con đường tới ĐẠI HỌC. Thân Ái !!!

  6. Cám ơn tinilam, thuanlqd, luffy, Ngọc Ánh G8, Supermath98 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi NTDuy Xem bài viết
    Đóng góp cho topic. Tiếp theo em sẽ đi đến một ví dụ đơn giản. Đó là mổ xẻ bài toán khối A năm 2013.

    Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a + c)(b + c) = 4c^2$. Tìm GTNN của biểu thức :
    $$P = \frac{32a^3}{(b + 3c)^3} + \frac{32b^3}{(a + 3c)^3} - \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{c}$$
    Một hướng tiếp cận khác :
    Bài này chúng ta cũng sử dụng hướng tiếp cận như A-2009.
    $a,b$ là hai biến đối xứng, còn $c$ là một biến đặc biệt. Ta sẽ xử lý biến đặc biệt này để đưa về bất đẳng thức đối xứng hai biến.
    Ta dễ thấy gt là một đẳng thức cùng bậc nên ta nghĩ tới việc đặt $x=\frac{a}{c};y=\frac{b}{c}$

    Bạn hãy thử giải theo hướng này!!
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  8. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này