Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Nov 2015
    Tuổi
    53
    Bài viết
    3
    Cám ơn (Đã nhận)
    0


    Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a+b+c=5
    Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ (b+a)(b+c)}}+\dfrac{a}{c+\sqrt{(a+c)(c+b)}}\le{1}$

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    27
    Cám ơn (Đã nhận)
    30
    Trích dẫn Gửi bởi mrdzung65 Xem bài viết
    Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a+b+c=5
    Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ (b+a)(b+c)}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{(a+c)(c+b)}}\le{1}$
    Ta có: $\sqrt{(a+b)(a+c)}\ge \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})$ do đó: $\dfrac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\le\dfrac{\sqrt{a}} {\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$, tương tự cho hai hạng tử còn lại. Cộng vế theo vế được đpcm.

  3. #3
    Thành Viên nhanbac's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2015
    Tuổi
    27
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0
    Trích dẫn Gửi bởi Nô-bi-ta Xem bài viết
    Ta có: $\sqrt{(a+b)(a+c)}\ge \sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})$ do đó: $\dfrac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\le\dfrac{\sqrt{a}} {\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$, tương tự cho hai hạng tử còn lại. Cộng vế theo vế được đpcm.
    Bác có thể nói rõ hơn tẹo đc không
    Bạc Ngọc Tuấn chuyên trang sức bạc 92.5. Hoa tai bạc nữ nhập khẩu từ Italia.

  4. #4
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Bài viết
    7
    Cám ơn (Đã nhận)
    7
    Trích dẫn Gửi bởi nhanbac Xem bài viết
    Bác có thể nói rõ hơn tẹo đc không
    $(a+b)(a+c)=a^2+ac+ab+bc$
    $a^2+bc\ge 2\sqrt{a^2.bc}=2a\sqrt{bc}$
    $\to (a+b)(a+c)\ge ac+ab+2a\sqrt{bc}=a(c+b+2\sqrt{bc})=a(\sqrt{c}+ \sqrt{b} )^2$
    $\to \sqrt{(a+b)(a+c)}\ge \sqrt{a}(\sqrt{c}+\sqrt{b})$

    Từ đó ta có:
    $\sum \dfrac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\le \sum \dfrac{a}{a+\sqrt{a}(\sqrt{c}+\sqrt{b})}=1$

    Mà đây là bđt đồng bậc nên có lẽ điều kiện $a+b+c=5$ là không cần thiết.
    $ \mathfrak{itachi}$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này