Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 10 của 10
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Trích dẫn Gửi bởi $T_G$ Xem bài viết
    Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc =1$. Chứng minh rằng
    $$\dfrac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2b^2 +6b+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2c^2+6c+1}} \ge 1$$
    Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$. Từ điều kiện ta có: $\begin{cases}ab\ge 1\\ c\le 1\end{cases}$.
    Với $x>0$, ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+6x+1}}\ge \frac{20}{27(x+1)}-\frac{1}{27}$
    Với $xy\ge 1$, ta có $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}+1}$
    Do đó:
    $$\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}}+
    \frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}&
    \ge \frac{20}{27} \left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right) -\frac{2}{27}\\
    &\ge \frac{40}{27(\sqrt{ab}+1)}-\frac{2}{27}=\frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}-\frac{2}{27}
    \end{array}$$
    Cuối cùng, với $c\in(0;1]$, ta luôn có $VT\ge \frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}+\dfrac{1}{\sqrt{ 2c^2+6c+1}}-\frac{2}{27}\ge 1$

  4. Cám ơn Tran Le Quyen, Trần Duy Tân, Hoa vô khuyết,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$. Từ điều kiện ta có: $\begin{cases}ab\ge 1\\ c\le 1\end{cases}$.
    Với $x>0$, ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+6x+1}}\ge \frac{20}{27(x+1)}-\frac{1}{27}$
    Với $xy\ge 1$, ta có $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}+1}$
    Do đó:
    $$\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}}+
    \frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}&
    \ge \frac{20}{27} \left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right) -\frac{2}{27}\\
    &\ge \frac{40}{27(\sqrt{ab}+1)}-\frac{2}{27}=\frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}-\frac{2}{27}
    \end{array}$$
    Cuối cùng, với $c\in(0;1]$, ta luôn có $VT\ge \frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}+\dfrac{1}{\sqrt{ 2c^2+6c+1}}-\frac{2}{27}\ge 1$
    Phương pháp tiếp tuyến phải không thưa thầy !
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  6. #4
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Phương pháp tiếp tuyến phải không thưa thầy !
    Tổng hợp nhiều thứ!

  7. Cám ơn  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  8. #5
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$. Từ điều kiện ta có: $\begin{cases}ab\ge 1\\ c\le 1\end{cases}$.
    Với $x>0$, ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+6x+1}}\ge \frac{20}{27(x+1)}-\frac{1}{27}$
    Với $xy\ge 1$, ta có $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}+1}$
    Do đó:
    $$\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}}+
    \frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}&
    \ge \frac{20}{27} \left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right) -\frac{2}{27}\\
    &\ge \frac{40}{27(\sqrt{ab}+1)}-\frac{2}{27}=\frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}-\frac{2}{27}
    \end{array}$$
    Cuối cùng, với $c\in(0;1]$, ta luôn có $VT\ge \frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}+\dfrac{1}{\sqrt{ 2c^2+6c+1}}-\frac{2}{27}\ge 1$
    Thầy có thể hướng dẫn chi tiết hơn về chỗ màu đỏ được không ạ . Cảm ơn thầy
    HOA VÔ KHUYẾT

  9. #6
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Thầy có thể hướng dẫn chi tiết hơn về chỗ màu đỏ được không ạ . Cảm ơn thầy
    Sử dụng điều kiện tiếp xúc sẽ tìm được!

  10. Cám ơn Hoa vô khuyết đã cám ơn bài viết này
  11. #7
    $\mathfrak{Love_Smod_Boxm ath}$ Trần Duy Tân's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    19
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262
    Trích dẫn Gửi bởi Hoa vô khuyết Xem bài viết
    Thầy có thể hướng dẫn chi tiết hơn về chỗ màu đỏ được không ạ . Cảm ơn thầy
    Điều kiện tiếp xuc của thầy thông qua đạo hàm và dự đoán điểm rơi !
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  12. Cám ơn Hoa vô khuyết đã cám ơn bài viết này
  13. #8
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Tài liệu [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

  14. Cám ơn Hoa vô khuyết, tinilam đã cám ơn bài viết này
  15. #9
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$. Từ điều kiện ta có: $\begin{cases}ab\ge 1\\ c\le 1\end{cases}$.
    Với $x>0$, ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+6x+1}}\ge \frac{20}{27(x+1)}-\frac{1}{27}$
    Với $xy\ge 1$, ta có $\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}\ge \dfrac{2}{\sqrt{xy}+1}$
    Do đó:
    $$\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2a^2+6a+1}}+
    \frac{1}{\sqrt{2b^2+6b+1}}&
    \ge \frac{20}{27} \left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1} \right) -\frac{2}{27}\\
    &\ge \frac{40}{27(\sqrt{ab}+1)}-\frac{2}{27}=\frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}-\frac{2}{27}
    \end{array}$$
    Cuối cùng, với $c\in(0;1]$, ta luôn có $VT\ge \frac{40\sqrt{c}}{27(\sqrt{c}+1)}+\dfrac{1}{\sqrt{ 2c^2+6c+1}}-\frac{2}{27}\ge 1$
    Cái dạng toán này dùng hàm số đoạn cuối cũng không hề đơn giản.

  16. Cám ơn tinilam, Lê Đình Mẫn đã cám ơn bài viết này
  17. #10
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    19
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    147
    Anh Cẩn giải:Tồn tại các số $m, n, p>$ sao cho $x=\dfrac{np}{m^2}, y=\dfrac{pm}{n^2}, z=\dfrac{mn}{p^2},$ BĐT được viết lại $$\sum \dfrac{m^2}{\sqrt{m^4--6m^2np--2n^2p^2}}\geq 1$$ Sử dụng BĐT Holder ta có $$VT^2(\sum m^2(m^4--6m^2np--2n^2p^2))\geq (m^2--n^2--p^2)^3$$ Ta phải chứng minh $$(m^2--n^2--p^2)^3\geq \sum m^2(m^4--6m^2np--2n^2p^2)$$Hay $$3\sum m^4(n-p)^2$$ BĐT trên luôn đúng. Vậy ta có đpcm.

  18. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này