Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2015
    Tuổi
    28
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0


    Cho tam giác ABC có góc A tú. Đường cao AH, trên hai cạnh AB và AC lấy hai điểm E và F sao cho góc $\widehat{HEC}=\widehat{ABC}$ và góc $\widehat{HFB}=\widehat{ACB}$. Gọi D là giao điểm của CE và BF. Chứng minh rằng: DE=DF


  2. #2
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Feb 2016
    Tuổi
    19
    Bài viết
    3
    Cám ơn (Đã nhận)
    1
    Dễ thấy $EC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(BHE)$ cũng như $BF$ là tiếp tuyến của đường tròn $(CHF)$.
    Gọi $G$ là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này.
    Do $\angle AFG=\angle GHC=\angle GEA$ nên tứ giác $EAFG$ là tứ giác nội tiếp.
    Vì thế có các bộ góc bằng nhau sau:
    $\angle BAG=\angle EFG$; $\angle GAC=\angle GEF$; $\angle ACG=\angle FHG$
    $\angle GCB=\angle GFH$; $\angle CBG=\angle HEG$; $\angle GBA=\angle GHE$
    Trong tam giác $\Delta ABC$ ba cát tuyến $AG, CG, BG$ đồng qui tại $G$ nên theo trig Ceva:
    $\frac{sin EFG}{sin GEF}.\frac{sin FHG}{sin GFH}.\frac{sin HEG}{sin GHE}=1$
    Thay các bộ góc bằng nhau được: $\frac{sin EFG}{sin GEF}.\frac{sin FHG}{sin GFH}.\frac{sin HEG}{sin GHE}=1$
    Xắp xếp lại: $\frac{sin EFG}{sin GFH}.\frac{sin FHG}{sin GHE}.\frac{sin HEG}{sin GEF}=1$
    Nên theo trig Ceva đảo, trong tam giác $\Delta EFH$, ba cát tuyến $DE, DF, HG$ đồng qui.
    $D$ nằm trên trục đẳng phương của $(BHE), (CHF)$ nên $DE=DF$

  3. Cám ơn VPH đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này