Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Mar 2015
    Đến từ
    THPT TRIEU THAI - VINH PHUC
    Bài viết
    240
    Cám ơn (Đã nhận)
    272


    Giải phương trình $$ \dfrac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{1+3x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x ^3+3x}}=\dfrac{3}{2}. $$
    Sửa lần cuối bởi Tran Le Quyen; 24/08/15 lúc 04:54 PM.

  2. Cám ơn Tran Le Quyen, zmf994, Hien.Ineq đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết
    Ngày tham gia
    Mar 2015
    Đến từ
    THPT TRIEU THAI - VINH PHUC
    Bài viết
    240
    Cám ơn (Đã nhận)
    272
    ĐK: $x\ge 0$, nhận xét $1+3x=x^2+x+2-(x-1)^2\le x^2+x+2$ và $x^3+3x\le (x+1)(x^2+1)\le \dfrac{1}{4}(x^2+x+2)^2$ theo AG.\\
    Do đó $$ VT\ge \dfrac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x^2+x+2}}+\dfrac{2}{x^2+ x+2}=\dfrac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+2}}+2t^2+t \mbox{ với }t=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+2}}$$
    $$ VT\ge \dfrac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+x+2}}+\dfrac{1}{2}(2t-1)^2+3t-\dfrac{1}{2}\ge \dfrac{x\sqrt{x}+3}{\sqrt{x^2+x+2}}-\dfrac{1}{2} $$
    Ta sẽ chứng minh $\dfrac{x\sqrt{x}+3}{\sqrt{x^2+x+2}}\ge 2$. Thật vậy, điều này tương đương với $$ a^3+3\ge 2\sqrt{a^4+a^2+2}\mbox{ với }a=\sqrt{x}\ge 0\Leftrightarrow (a^2+3a+1)(a^2-a+1)(a-1)^2\ge 0 .$$
    Nên $VT\ge 2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}=VP$. Đẳng thức xảy ra khi $x=1$. Vậy PT có nghiệm duy nhất $x=1$.

  4. Cám ơn Tran Le Quyen, Hien.Ineq, lazyman, zmf994, ツToánღ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này