Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 19
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    269
    Cám ơn (Đã nhận)
    449


    Nhằm muc đích rèn luyện kĩ năng giải toán của các em học sinh (mục tiêu chính:cool: ) cũng như việc biên soạn tài liệu phục cho việc giảng dạy và học tập (mục tiêu phụ :cool. Đó chính là lí do topic này được thành lập
    Nội quy
    - Đề bài phải được đánh số thứ tự và trích dẫn nguồn gốc.
    - Bài giải phải trình bày chi tiết cho đến kết quả cuối cùng.

    Bài 1. (ĐH Vinh 2014 - Lần 2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm GTLN của biểu thức
    $$P=\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}-\frac{x^3y^3+y^3z^3}{24x^3z^3}$$

  2. Cám ơn gacon, HongAn39, Ngọc Ánh G8, tinilam,  $T_G$, cuong18041998, Hắc Long đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    2
    Cám ơn (Đã nhận)
    6
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Bài 1. (ĐH Vinh 2014 - Lần 2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1.$ Tìm GTLN của biểu thức
    $$P=\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}{1+x^2}-\frac{x^3y^3+y^3z^3}{24x^3z^3}$$
    Huớng dẫn giải:
    Sử dụng giả thiết $x^2+y^2+z^2$ kết hợp CS, ta có:
    \[\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{xy}}{{1 + {z^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right)\\
    \frac{{yz}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{yz}}{{2{x^2} + {y^2} + {z^2}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{{z^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)
    \end{array} \right.\]
    Suy ra: \[\frac{{xy}}{{1 + {z^2}}} + \frac{{yz}}{{1 + {x^2}}} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\left( {\frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right) \le \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}\left( {2 + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}}} \right)\]
    Vậy: \[P \le \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}}\left( {2 + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}}} \right) - \frac{1}{{24}}\left( {\frac{{{y^3}}}{{{x^3}}} + \frac{{{y^3}}}{{{z^3}}}} \right)\]\[ = \frac{3}{8} + \frac{1}{{48}}\left[ {\left( {\frac{{3{y^2}}}{{{x^2}}} - \frac{{2{y^3}}}{{{x^3}}}} \right) + \left( {\frac{{3{y^2}}}{{{z^2}}} - \frac{{2{y^3}}}{{{z^3}}}} \right)} \right]\]
    Xét hàm số: \[f\left( t \right) = 3{t^2} - 2{t^3};\,\,\,\,\,\,\,\,\,t > 0\]
    Ta có: $f'(t)=6t-6t^2=0 \Leftrightarrow t=0$ or $t=1$.
    Lập BBT, ta tìm được GTLN của $f(t)$ đạt được khi $t=1$. Khi đó, $f(t)=1$.
    Từ đây suy ra: $P \le \dfrac{5}{12}$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
    Nguồn: k2pi.net ( [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung])

  4. Cám ơn letrungtin, gacon, tinilam,  $T_G$, Hắc Long, Daylight Nguyễn đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Thêm cách xử lý nữa:
    Sử dụng giả thiết $x^2+y^2+z^2$ kết hợp CS, ta có:
    $\[\left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{xy}}{{1 + {z^2}}} = \frac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right)\\
    \frac{{yz}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{yz}}{{2{x^2} + {y^2} + {z^2}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{{{z^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right)
    \end{array} \right.\]$
    Suy ra:$\frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2} }+\frac{z^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{ 2}} \right )$
    $=\frac{1}{4}\left ( 1+\frac{y^{2}}{z^{2}+y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{ 2}} \right )\leq \frac{1}{4}\left ( 1 +\frac{y^{2}}{2yz}+\frac{y^{2}}{2xy}\right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{y}{z}+\frac{y}{x} \right )$
    Ta có: $a^{3}+b^{3}\geq ab\left ( a+b \right )\Leftrightarrow 4a^{3}+4b^{3}\geq \left ( a+b \right )^{3}$
    suy ra $x^{3}y^{3}+y^{3}z^{3}\geq \frac{1}{4}\left ( xy+yz \right )^{3}$
    Suy ra $P\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{8}\left ( \frac{y}{z}+\frac{y}{x} \right )-\frac{1}{96}\left ( \frac{y}{z}+\frac{y}{x} \right )^{3}$
    Xét hàm $f\left ( t \right )=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}t-\frac{1}{96}t^{3},t>0$
    Lập bảng biến thiên ta có kết quả như trên
    Sửa lần cuối bởi thuanlqd; 18/08/14 lúc 03:47 PM.

  6. Cám ơn kalezim16 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Bài 2: (Chuyên Hà Tĩnh) Cho $x;y;z \in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức

    $(1+xyz)\left ( \frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \right )$

  8. Cám ơn letrungtin, gacon, Ngọc Ánh G8 đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    269
    Cám ơn (Đã nhận)
    449
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Bài 2: (Chuyên Hà Tĩnh) Cho $x;y;z \in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức

    $P= (1+xyz)\left ( \frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \right )$
    Với $x,y,z\in[0;1]$, ta luôn có
    $$\begin{array}{l}\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3} \le \frac{2}{1+\sqrt{x^3y^3}}\\
    \frac{1}{1+z^3}+\frac{1}{1+xyz}\le\frac{2}{1+\sqrt {xyz^4}}\\
    \frac{2}{1+\sqrt{x^3y^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{xyz^4}} \le \frac{4}{1+xyz}\end{array}$$
    Do đó: $\frac{1}{1+x^3}+\frac{1}{1+y^3}+\frac{1}{1+z^3} \le \frac{3}{1+xyz}\Rightarrow P\le 3$
    Dấu "=" xảy ra tại $x=y=z$

  10. Cám ơn gacon, thuanlqd, tinilam,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    269
    Cám ơn (Đã nhận)
    449
    Bài 3. (Đại học Vinh - 2014 -lần 1) Cho $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn $0< (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2\le 18$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=x^2+y^2+z^2-\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)}$$

  12. Cám ơn gacon, chihao,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  13. #7
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Bài 3. (Đại học Vinh - 2014 -lần 1) Cho $x,y,z\ge 0$ thỏa mãn $0< (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2\le 18$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=x^2+y^2+z^2-\frac{(x+y+z)^2}{3(x^2+y^2+z^2)}$$
    Từ điều kiện bài toán suy ra $0\leq x,y,z\leq 3$
    Ta dễ dàng cm được $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3\left ( x+y+z \right )$
    Suy ra $P\leq 3\left ( x+y+z \right )-\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{9\left ( x+y+z \right )}=\frac{26}{9}\left ( x+y+z \right )$
    Đặt $t=x+y+z$ $0< t\leq 3$
    Suy ra P đạt max khi $t=3$ suy ra $Max_{P}=\frac{26}{3}$ khi $x=3,y=0,z=0$ và các hoán vị

  14. #8
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Bài 4: (Hoàng Lệ Kha- Thanh Hóa) Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
    $\frac{\left ( 1+a \right )^{2}\left ( 1+b \right )^{2}}{1+c^{2}}+\frac{\left ( 1+b \right )^{2}\left ( 1+c \right )^{2}}{1+a^{2}}+\frac{\left ( 1+c \right )^{2}\left ( 1+a \right )^{2}}{1+b^{2}}\geq 24$

  15. Cám ơn letrungtin đã cám ơn bài viết này
  16. #9
    Moderator NTDuy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    55
    Cám ơn (Đã nhận)
    113
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Bài 4: (Hoàng Lệ Kha- Thanh Hóa) Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
    $\frac{\left ( 1+a \right )^{2}\left ( 1+b \right )^{2}}{1+c^{2}}+\frac{\left ( 1+b \right )^{2}\left ( 1+c \right )^{2}}{1+a^{2}}+\frac{\left ( 1+c \right )^{2}\left ( 1+a \right )^{2}}{1+b^{2}}\geq 24$
    Chúng ta có : $\left ( 1 + a \right )^2\left ( 1 + b \right )^2 = \left [ \left ( 1 + ab \right ) + \left ( a + b \right ) \right ]^{2} \geq 4\left ( 1 + ab \right )\left ( a + b \right )$

    Từ đó suy ra :
    $$\sum \frac{\left ( 1 + a \right )^2\left ( 1 + b \right )^2}{1 + c^2} \geq \sum \frac{4\left ( 1 + ab \right )\left ( a + b \right )}{1 + c^2} = \sum 4a\left ( \frac{1 + b^2}{1 + c^2} \right ) + \sum 4b\left ( \frac{1 + a^2}{1 + c^2} \right )$$

    Do đó , theo bất đẳng thức $AM - GM$ ta được :
    $$\sum \frac{\left ( 1 + a \right )^2\left ( 1 + b \right )^2}{1 + c^2} \geq 8\left ( a + b + c \right ) = 24$$
    Suy ra được điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.

  17. Cám ơn letrungtin, tinilam,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  18. #10
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Bài 5: (nguoithay.vn) Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm Max của

    $P=\frac{4}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+4}}-\frac{9}{\left ( x+y \right )\sqrt{\left ( x+2z \right )\left ( y+2z \right )}}$
    Sửa lần cuối bởi thuanlqd; 22/08/14 lúc 10:12 PM.
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  19. Cám ơn Ngọc Ánh G8 đã cám ơn bài viết này
 

 
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này