1, Chứng minh rằng: tổng các lập phương của ba số nguyên chia hết cho 6 khi và chỉ khi tổng 3 số đó chia hết cho 6
2, Cho 2 số lẽ có hiệu các lập phương chia hết cho 8, chứng minh hiệu hai số đó cũng chia hết cho 8
3, Chứng minh rằng: nếu bình phương thiếu của tổng hai số nguyên chia hết cho 9 thì tích hai số đó cũng chia hết cho 9
4, Chứng minh rằng: tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
5, Chứng minh rằng: $ n^5-5n^3+4n $ chia hết cho 120 với mọi số nguyên n
6, Chứng minh rằng: $ n^3+3n^2+n+3 $ chia hết cho 48 với mọi số lẻ n
7, Chứng minh rằng: $ n^4+4n^3-4n^2+16n $ chia hết chi 384 với mọi số nguyên n
8, Chứng minh rằng: với mọi số nguyên n thì $ n^2+11n+39 $ không chia hết cho 49
9, Chứng minh rằng: $ n(n+1)(n+2)+1 $ là một số chính phương với mọi số tự nhiên n
10, Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên $ n>1 $:

$\quad$ a, $ n^4 +4 $ là hợp số,
$\quad$ b, $ n^4+4k^4 $ là hợp số (k là số tự nhiên)

11, Tính giá trị của biểu thức $ (1+ab-b^4)(a^4+1) $ với $ a=2^7, b=5 $
12, Số $ 2^32+1 $ có phải là số nguyên tố không?
13, Tìm số có 3 chữ số sao cho khi chia nó cho 11 được thương bằng tổng các chữ số bị chia.