Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2015
    Tuổi
    18
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0


    Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh: $\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}\geqslant 2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Viết lại BĐT đã cho dưới dạng thuần nhất:
    $ \sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\dfrac{a b+bc+ca}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{c^2+c a+a^2}} \geq 2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
    KMTTQ,giả sử rằng: $ a\geq b \geq c \geq 0.$ Để ý:
    $ \dfrac{ab+bc+ca}{b^2+bc+c^2}-\dfrac{a+c}{b+c}=\dfrac{c(ab-c^2)}{(b^2+bc+c^2)(b+c)} \geq 0,$
    $\dfrac{ab+bc+ca}{c^2+ca+a^2}-\dfrac{b+c}{a+c}=\dfrac{c(ab-c^2)}{(c^2+ca+a^2)(a+c)} \geq 0,$

    $ \begin{aligned} \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+ab+b^2}-\dfrac{(a+c)(b+c)}{(a+c)^2+(a+c)(b+c)+(b+c)^2} \ & \geq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+ab+b^2}-\dfrac{(a+c)(b+c)}{a^2+ab+b^2+c(a+b)} \\ & =\dfrac{c(a+b)(ab+bc+ca)-c^2(a^2+ab+b^2)}{(a^2+ab+b^2)\left[a^2+ab+b^2+c(a+b)\right]} \\ & \geq \dfrac{c(a+b)(ac+bc)-c^2(a+b)^2}{(a^2+ab+b^2)\left[a^2+ab+b^2+c(a+b)\right]}=0 .
    \end{aligned}\]$
    Do đó ta chỉ cần chứng minh:
    $\sqrt{\dfrac{(a+c)(b+c)}{(a+c)^2+(a+c)(b+c)+(b+c) ^2}}+\sqrt{\dfrac{a+c}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+c }} \geq 2+\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$
    Đặt $\sqrt{\dfrac{a+c}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a+c}}=t \geq 2,$ BĐT trở thành:
    $ \dfrac{1}{\sqrt{t^2-1}}+t \geq 2+\dfrac{1}{\sqrt{3}},$
    hoặc
    $ (t-2)\left[1-\dfrac{t+2}{\sqrt{3(t^2-1)}(\sqrt{t^2-1}+\sqrt{3})}\right] \geq 0.$
    Hiển nhiên đúng.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=1,c=0$ hoặc các hoán vị.

    Cách này của anh Nguyễn Quý. Còn cách khác kết hợp cả dồn biến và Chia để trị nhưng dài hơn.

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Bài tương tự:

    Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=1$.Chứng minh rằng:

    $\frac{1}{\sqrt{a^2+ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc +c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ca+a^2}}\geq 4+\frac{2\sqrt{3}}{3}$
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  3. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này