Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620


    [fb] Cho $ a,b>0;(2ab-2)^2+a^3b+4ab^3\ge2a^2+8b^2+4 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P=\left ({a^4+b^4\over a^2+b^2}-1\right )^3-\sqrt{a^2b^2+2ab-6}. \]

  2. #2
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    [fb] Cho $ a,b>0;(2ab-2)^2+a^3b+4ab^3\ge2a^2+8b^2+4 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P=\left ({a^4+b^4\over a^2+b^2}-1\right )^3-\sqrt{a^2b^2+2ab-6}. \]
    Từ giả thiết ta suy ra $(ab-2)(a+2b)^2\geq 0$, suy ra $ab\geq 2$.
    Ta dễ có: $a^4+b^4\geq ab(a^2+b^2)$
    Từ đây đặt $t=ab\geq 2$ thì ta có: $$P\geq f(t)=(t-1)^3-\sqrt{t^2+2t-6}$$
    Ta có \begin{align}f'(t) & =3(t-1)^2-\dfrac{t+1}{\sqrt{t^2+2t-6}} \\ & =3(t-1)^2-\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{7}{(t+1)^2}}} \\ & \geq 3-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}>0 \end{align}
    Suy ra $f(t)$ là hàm nghịch biến, do đó $f(t)\geq f(2)=1-\sqrt{2}$.
    Đẳng thức xảy ra khi $t=2$ hay $ab=2$.
    Vậy GTNN của $P$ là $2$ khi $ab=2$.

  3. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này