Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hạ Long-Quảng Ninh
    Ngày sinh
    03-07-1999
    Bài viết
    24
    Cám ơn (Đã nhận)
    18

  2. Cám ơn tinilam, nightfury đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    27
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Trích dẫn Gửi bởi luffy Xem bài viết
    Cho $a,b,c,x,y,z$ không âm thỏa mãn $a+b+c=x+y+z.$
    CMR:

    $$a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z+4(ax^{2}+by^{2}+cz^{2})\geq 15abc \quad{(*)}$$
    Đầu tiên dùng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz có
    $$ \left( ax^2+by^2+cz^2 \right) \left( bc+ca + ab \right) \ge abc \left( x+y+z \right)^2 = abc \left( a+b+c \right)^2 \ge 3abc \left( ab+bc+ca \right) $$
    Suy ra
    $$ ax^2 +by^2+cz^2 \ge 3abc $$
    Tương tự cũng có
    $$ a^2x +b^2 y+ c^2z \ge 3 xyz $$
    Ta thấy
    $$VT_{(*)} \ge 3 \left( xyz + ax^2+by^2+cz^2 \right) + 3abc$$
    Cần chứng minh
    $$ xyz + ax^2+by^2+cz^2 \ge 4abc \quad{(1)} $$
    Trước hết ta thấy nếu $ \displaystyle x^2 \ge 4bc $ thì bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ hiển nhiên đúng .

    Do vậy ta chỉ cần xét trong trường hợp $ x^2 < 4bc $.

    Viết bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ thành
    $$ 2ax^2 + \left( 2b-x \right) y^2 + \left( 2c-x \right) z^2 + x \left( y+z \right)^2 \ge 8abc $$
    Chú ý là
    $$ \left( b+c -x \right) + \left( c+a -y \right) + \left( a+b-z \right) =a+b+c \ge 0 $$
    Do đó mà trong các số $ \displaystyle b+c-x \ ; \ c+a -y \ ; \ a+b-z $ phải có ít nhất một số không âm .

    Giả sử đó là $ \displaystyle b+c-x \ge 0 $.


    $$ \left( 2b-x \right) y^2 + \left( 2c-x \right) z^2 - \frac{\left( 2b-x \right) \left( 2c-x \right) \left( y+z \right)^2}{2\left( b+c-x \right)} = \frac{ \left( 2by-yx-2cz+xz \right)^2}{2 \left( b+c-x \right)} \ge 0$$
    Cần chứng minh
    $$ 2ax^2 + \frac{\left( 2b-x \right) \left( 2c-x \right) \left( y+z \right)^2}{2\left( b+c-x \right)} + x \left( y+z \right)^2 \ge 8abc$$

    $$ 2ax^2 + \frac{\left( 2b-x \right) \left( 2c-x \right) \left( y+z \right)^2}{2\left( b+c-x \right)} + x \left( y+z \right)^2 - 8abc = \frac{\left( 4bc -x^2 \right) \left( a+x-b-c \right)^2}{2 \left( b+c-x \right)} \ge 0 $$
    Như vậy $ \displaystyle (1) $ đúng . Và
    $$VT_{(*)} \ge 3 \left( xyz + ax^2+by^2+cz^2 \right) + 3abc \ge 15 abc$$
    Đó là điều cần chứng minh .

  4. Cám ơn tinilam, luffy, Hoang Long Le đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này