$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

[thuanlqd]

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

Bài viết liên quan:

• [ThL] Dãy số thi HSG V2 Tĩnh Vĩnh Phúc 2014
• [ThL] Tìm giới hạn của dãy số
• Tìm giới hạn dãy số biết \[\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ {u_{n + 1}} = \frac{1}{2}({u_n} + \frac{{2015}}{{{u_n}}}) \end{array} \right.\]
• Tập tài liệu tìm CTTQ hay ứng dụng khá nhiều
• Tìm số hạng tổng quát của dãy $({{u}_{n}})$ được xác định bởi ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{n+1}}=\frac{{{n}^{2}}}{(n+1)(n+2)}{{u}_{n}} +\frac{n}{(n+1)(n+2)}$

[Hoa vô khuyết]

Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$

*Ta sẽ chứng minh $x_{n}>2$ với mọi $n$
Ta có: $x_{0}=3>2$
Giả sử $x_{k}>2$
Khi đó: $x_{k+1}^{3}-3x_{k+1}=\sqrt{x_{k}+2}>\sqrt{2+2}=2$
$\Leftrightarrow (x_{k+1}-2)(x_{k}+1)^2>0$
$\Leftrightarrow x_{k+1}>2$
Do đó $x_{n} > 2$ với mọi $n$(1)
*Ta sẽ chứng minh $( x_{n} )$ giảm
Ta có:
$$x_{n+1}^{3}-3x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+2}$$
$$\Rightarrow (x_{n+1}^{3}-3x_{n+1})^2-2=x_{n}$$
Khi đó:
$$x_{n}-x_{n+1}=( x_{n+1}^{3}-3x_{n+1} )^2-2-x_{n+1}$$
$$=(x_{n+1}-2)(x_{n+1}^5+2x_{n+1}^4-2x_{n+1}^3-4x_{n+1}^2+x_{n+1}+1)=f(x_{n+1})$$
Ta có:
$x_{n+1}-2>0$
Và $x_{n+1}^5+2x_{n+1}^4-2x_{n+1}^3-4x_{n+1}^2+x_{n+1}+1$
$=x_{n+1}^3(x_{n+1}^2-2)+2x_{n+1}^2(x_{n+1}^2-2)+x_{n+1}+1>0$
Do đó: $f(x_{n+1})>0$ hay $x_{n}-x_{n+1}>0$
Suy ra $(x_{n})$ giảm với mọi $n$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ có giớ hạn hữu hạn
Khi đó tồn tại $a=lim x_{n}$ với ($a \geq 2$ )
Chuyển giả thiết qua giới hạn, ta được:
$a^3-3a=\sqrt{a+2} \Leftrightarrow (a-2)(a+1)^2=0 \Leftrightarrow a=2 ( t/m)$ ( vì $a \geq 2$ )
Vậy $lim x_{n}=2$