Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109

  2. Cám ơn tinilam, Popeye, nightfury đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Cho dãy số ${x_n}$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 3}\\{x_{n + 1}^3 - 3{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 2} }\end{array}} \right.$
    Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {x_n} = ?$
    *Ta sẽ chứng minh $x_{n}>2$ với mọi $n$
    Ta có: $x_{0}=3>2$
    Giả sử $x_{k}>2$
    Khi đó: $x_{k+1}^{3}-3x_{k+1}=\sqrt{x_{k}+2}>\sqrt{2+2}=2$
    $\Leftrightarrow (x_{k+1}-2)(x_{k}+1)^2>0$
    $\Leftrightarrow x_{k+1}>2$
    Do đó $x_{n} > 2$ với mọi $n$(1)
    *Ta sẽ chứng minh $( x_{n} )$ giảm
    Ta có:
    $$x_{n+1}^{3}-3x_{n+1}=\sqrt{x_{n}+2}$$
    $$\Rightarrow (x_{n+1}^{3}-3x_{n+1})^2-2=x_{n}$$
    Khi đó:
    $$x_{n}-x_{n+1}=( x_{n+1}^{3}-3x_{n+1} )^2-2-x_{n+1}$$
    $$=(x_{n+1}-2)(x_{n+1}^5+2x_{n+1}^4-2x_{n+1}^3-4x_{n+1}^2+x_{n+1}+1)=f(x_{n+1})$$
    Ta có:
    $x_{n+1}-2>0$
    Và $x_{n+1}^5+2x_{n+1}^4-2x_{n+1}^3-4x_{n+1}^2+x_{n+1}+1$
    $=x_{n+1}^3(x_{n+1}^2-2)+2x_{n+1}^2(x_{n+1}^2-2)+x_{n+1}+1>0$
    Do đó: $f(x_{n+1})>0$ hay $x_{n}-x_{n+1}>0$
    Suy ra $(x_{n})$ giảm với mọi $n$ (2)
    Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ có giớ hạn hữu hạn
    Khi đó tồn tại $a=lim x_{n}$ với ($a \geq 2$ )
    Chuyển giả thiết qua giới hạn, ta được:
    $a^3-3a=\sqrt{a+2} \Leftrightarrow (a-2)(a+1)^2=0 \Leftrightarrow a=2 ( t/m)$ ( vì $a \geq 2$ )
    Vậy $lim x_{n}=2$
    HOA VÔ KHUYẾT

  4. Cám ơn trantruongsinh_dienbien, tadaykhongsoai đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này