$x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$

[thuanlqd]

Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.

Bài viết liên quan:

• [ThL] Tìm giới hạn của dãy số
• Tìm số hạng tổng quát của dãy $({{u}_{n}})$ được xác định bởi ${{u}_{1}}=1$, ${{u}_{n+1}}=\frac{{{n}^{2}}}{(n+1)(n+2)}{{u}_{n}} +\frac{n}{(n+1)(n+2)}$
• Tìm công thức tổng số hạng tổng quát $u_n$
• [ThL] Thảo luận về các bài toán dãy số thi HSG
• Tìm giới hạn:$A=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}$

[Hoa vô khuyết]

Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.

Dễ thấy $x_{n}>0$ với mọi $n \geq 2$(1)
Ta sẽ chứng minh $(x_{n})$ giảm với mọi $n \geq 2$
Ta có: $x_{2}=\frac{10}{3}>\frac{80}{2}=x_{3}$
Giả sử $x_{k-1}>x_{k}$
Dễ có: $\frac{k+2}{3k}>\frac{(k+1)+2}{3(k+1)}>0$ ( xét hàm là thấy )
Và $x_{k-1}+2>x_{k}+2>0$
Suy ra:
$$\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2)>\frac{(k+1)+2}{3(k+1)}(x_{k}+2)$$
$$\Leftrightarrow x_{k}>x_{k+1}$$
Do đó $x_{n}>x_{n+1}$ với mọi $n\geq 2$ hay $(x_{n})$ giảm với mọi $n\geq 2$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ có giới hạn hữu hạn
Khi đó tồn tại $a=lim x_{n}$ ( $a \geq 0 $)
Chuyển giả thiết qua giới hạn, ta được:
$$a=\frac{1}{3}(a+2) \Leftrightarrow a=1(t/m)$$
Vậy $lim x_{n}=1$
*Cũng có thể c/m $x_{n}>1$ bằng quy nạp nhưng lấy $x_{n}>0$ cũng được( nhanh hơn )
Hình như đây là đề VMO 2012 thì phải