Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Tích Cực Hoa vô khuyết's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    59
    Cám ơn (Đã nhận)
    57
    Trích dẫn Gửi bởi thuanlqd Xem bài viết
    Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.
    Dễ thấy $x_{n}>0$ với mọi $n \geq 2$(1)
    Ta sẽ chứng minh $(x_{n})$ giảm với mọi $n \geq 2$
    Ta có: $x_{2}=\frac{10}{3}>\frac{80}{2}=x_{3}$
    Giả sử $x_{k-1}>x_{k}$
    Dễ có: $\frac{k+2}{3k}>\frac{(k+1)+2}{3(k+1)}>0$ ( xét hàm là thấy )
    Và $x_{k-1}+2>x_{k}+2>0$
    Suy ra:
    $$\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2)>\frac{(k+1)+2}{3(k+1)}(x_{k}+2)$$
    $$\Leftrightarrow x_{k}>x_{k+1}$$
    Do đó $x_{n}>x_{n+1}$ với mọi $n\geq 2$ hay $(x_{n})$ giảm với mọi $n\geq 2$(2)
    Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ có giới hạn hữu hạn
    Khi đó tồn tại $a=lim x_{n}$ ( $a \geq 0 $)
    Chuyển giả thiết qua giới hạn, ta được:
    $$a=\frac{1}{3}(a+2) \Leftrightarrow a=1(t/m)$$
    Vậy $lim x_{n}=1$
    *Cũng có thể c/m $x_{n}>1$ bằng quy nạp nhưng lấy $x_{n}>0$ cũng được( nhanh hơn )
    Hình như đây là đề VMO 2012 thì phải
    HOA VÔ KHUYẾT

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này