$x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$

[thuanlqd]

Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.

Bài viết liên quan:

• Cho dãy \[\left\{ \begin{array}{l} {u_0} = \frac{1}{2}\\ {u_k} = {u_{k - 1}} + \frac{1}{n}u_{k - 1}^2 \end{array} \right.\] Chứng minh \[1 - \frac{1}{n} < {u_n} < 1\]
• Tính $lim S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{u_{i}}{u_{i+1}-1}$
• Cho dãy $(u_n)$ \[\left\{ \begin{array}{l} {u_0} > 0\\ {u_{n + 1}} = \frac{{2 + \sqrt {2u_n^2 + 4{u_n} + 4} }}{{{u_n}}} \end{array} \right.\] CMR: Dãy $(u_n)$ có giới hạn và tìm giới hạn đó
• Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi : \[\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ {u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2 - {u_n}}}{{2005}} + {u_n} \end{array} \right.\] Tính \[\lim \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{u_i}}}{{{u_{i + 1}} - 1}}} \]
• [ThL] Tìm giới hạn của dãy số - Thi HSG TP HCM 2014

[Hoa vô khuyết]

Cho dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $(x_{1})=3$ và $x_{n}=\dfrac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)$ với mọi n$\geqslant$2. Chứng minh dãy số đó có giới hạn khi $n\rightarrow +\infty$. Tìm giới hạn đó.

Dễ thấy $x_{n}>0$ với mọi $n \geq 2$(1)
Ta sẽ chứng minh $(x_{n})$ giảm với mọi $n \geq 2$
Ta có: $x_{2}=\frac{10}{3}>\frac{80}{2}=x_{3}$
Giả sử $x_{k-1}>x_{k}$
Dễ có: $\frac{k+2}{3k}>\frac{(k+1)+2}{3(k+1)}>0$ ( xét hàm là thấy )
Và $x_{k-1}+2>x_{k}+2>0$
Suy ra:
$$\frac{k+2}{3k}(x_{k-1}+2)>\frac{(k+1)+2}{3(k+1)}(x_{k}+2)$$
$$\Leftrightarrow x_{k}>x_{k+1}$$
Do đó $x_{n}>x_{n+1}$ với mọi $n\geq 2$ hay $(x_{n})$ giảm với mọi $n\geq 2$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $x_{n}$ có giới hạn hữu hạn
Khi đó tồn tại $a=lim x_{n}$ ( $a \geq 0 $)
Chuyển giả thiết qua giới hạn, ta được:
$$a=\frac{1}{3}(a+2) \Leftrightarrow a=1(t/m)$$
Vậy $lim x_{n}=1$
*Cũng có thể c/m $x_{n}>1$ bằng quy nạp nhưng lấy $x_{n}>0$ cũng được( nhanh hơn )
Hình như đây là đề VMO 2012 thì phải