Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5

Chủ đề: Bài toán cũ.

  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119


    Cho $a,b,c$ không âm sao cho $(a+b)(b+c)(a+c)\neq 0$.Chứng minh rằng:

    $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{3 \sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2$

    To be continued!...
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  2. Cám ơn titi2015, lequangnhat20, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh rằng:

    $\frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(a+c)^2}+\frac{c^2 }{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}$
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  4. Cám ơn toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh bất đẳng thức sau:

    $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{4 (a+b+c)(ab+bc+ac)}{a^3+b^3+c^3}\geq 5$
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  6. Cám ơn toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Cho $a,b,c$ không âm sao cho $(a+b)(b+c)(a+c)\neq 0$.Chứng minh rằng:

    $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{3 \sqrt[3]{abc}}{2(a+b+c)}\geq 2$

    To be continued!...
    Lời giải:.

    KMTTQ,giả sử $a+b+c=1$.Ta đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ac,r^3=abc.$ BĐT của ta trở thành:

    $f(r)=-3r^4+10r^3+3qr+2-8q\geq 0$.

    Xét $q\in \left (0,\frac{1}{4} \right ]\Rightarrow f(r)\geq f(0)=2-8q\geq 0$

    Nếu $q\in \left [ \frac{1}{4},\frac{1}{3} \right ]\Rightarrow r\geq \sqrt[3]{\frac{4q-1}{9}}$

    Khi đó đặt $t= \sqrt[3]{\frac{4q-1}{9}}$ thì $t\in \left [ 0,\frac{1}{3} \right ]\Rightarrow q=\frac{9t^3+1}{4}$

    Khi đó ta cần chứng minh: $f(t)\geq 0$ mà $f(t)=t(3t-1)(5t^2-9t-3)\geq 0 \forall t\in \left [ 0,\frac{1}{3} \right ]$

    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=b,c=0$ và các hoán vị.


    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

    $3(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})+ \frac{9abc}{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}\geq 5$
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  8. Cám ơn lazyman, toiyeutoan, lilac đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Thay cho lời chia tay với diễn đàn:

    Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

    $\sqrt{\frac{a(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{b( a+b+c)}{(b+a)(b+c)}}+\sqrt{\frac{c(a+b+c)}{(c+a)(c +b)}}\geq 2$

    Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thành viên của Boxmath và BQT.Thời gian hơn 1 năm qua mình đã học hỏi được rất nhiều điều từ diễn đàn như bao người yêu BĐT khác ( anh Tăng chẳng hạn ) .Năm nay đã lớp 12 mình quyết định bỏ niềm đam mê lớn nhất của mình là giải BĐT để chú tâm theo đuổi ước mơ đại học. Giờ cũng chả còn bao thời gian nữa mà ngồi làm BĐT... Cám ơn tất cả các thầy,cô trên Box. Mình xin chúc diễn đàn ta ngày càng phát triển và có thêm nhiều thành viên và các Mod, các Admin mới tài giỏi, nhiệt huyết. Thân!
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  10. Cám ơn lilac, lazyman, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này