Câu I.


$ 1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$

$ 2) $ Giải phương trình:
$$x + 3 +\sqrt{1-x^2} = 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}.$$

Câu II .


$\ 1)$ Tìm các cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412 .$$

$ 2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2} .$$

Câu III.


Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ ($P$ khác $B, C,$ và $ H$) và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M $ khác $ B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N $ khác $C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q$ khác $ A$.
$ 1)$ Chứng minh rằng ba điểm $M,N,Q$ thẳng hàng.
$ 2)$ Giả sử $AP$ là phân giác góc $\angle MAN$. Chứng minh rằng khi đó $PQ$ đi qua trung điểm của $BC.$

Câu IV.


Giả sử dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_{192} = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$


Chứng minh rằng $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}.$$