Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    97


    Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Hà Nội năm học 2013 - 2014


    Bài I.


    1). Tìm các số tự nhiên $n$ để $7^{2013}+3^{n}$ có chữ số hàng đơn vị là $8$.


    2). Cho $a,b$ là các số tự nhiên lớn hơn $2$ và $p$ là số tự nhiên thỏa mãn $\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}$. Chứng minh $p$ là hợp số.


    Bài II.


    1). Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn


    $x^{2} -3y^{2}+2xy-2x+6y-8=0$


    2). Giải hệ phương trình:


    $2x^{2}+xy+3y^{2} -2y-4=0$


    $3x^{2} +5y^{2} +4x-12=0$


    Bài III.
    Với $a,b$ là các số thực thỏa mãn $a+b+4ab=4a^{2}+4b^{2}$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=$20(a^{3}+b^{3}) -6(a^{2}+b^{2})+2013$


    Bài IV.
    Cho tam giác $ABC$ không phải là tam giác cân. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $BC, AC, AB$ lần lượt tại $M, N, P$. Đường thẳng $NP$ cắt $BO, CO$ tại $E, F$.


    1). Chứng minh hai góc $ \widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.


    2). Chứng minh bốn điểm $B, C, E, F$ cùng thuộc một đường tròn.


    3). Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $OEF$. Chứng minh $O, M, K$ thẳng hàng.


    Bài V.
    Trong mặt phẳng cho $6$ điểm $A_{1} ;A_{2}...A_{6}$ trong đó ko có $3$ điểm nào thẳng hàng và trong $3$ điểm luôn có $2$ điểm có khoảng cách nhỏ hơn $671$. Chứng minh trong $6$ điểm đã cho luôn tồn tại ba điểm là ba đỉnh của một tam giác có chu vi nhỏ hơn $2013$.


    Theo mình thấy, đề năm nay hay và khó hơn các năm trước.

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    27
    Cám ơn (Đã nhận)
    30
    Trích dẫn Gửi bởi nightfury Xem bài viết
    2). Cho $a,b$ là các số tự nhiên lớn hơn $2$ và $p$ là số tự nhiên thỏa mãn $\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}$. Chứng minh $p$ là hợp số.
    Từ giả thiết bài toán ta có $p>2$. Giả sử $p$ không là hợp số tức $p$ là số nguyên tố, vậy $p$ lẻ.
    Quy đồng ta được: $p(a^2+b^2)=a^2b^2$ suy ra $a,b$ là cùng chẵn.
    Nếu $a$ có ước là $p$ thì kéo theo $b$ cũng có ước là $p$ hay $a=pa_1,b=pb_1$ với $a_1,b_1$ chẵn.
    Từ đẳng thức đề bài suy ra: $p=\dfrac{1}{a_1^2}+\dfrac{1}{b_1^2}<\dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$ (vô lý).
    Vậy $a,b$ không có ước là $p$.
    Suy ra $b^2p=a^2(b^2-p)$ và $a^2p=b^2(a^2-p)$.
    Do $b^2p,a^2p>0$ nên $p<a^2, p<b^2$.
    Lại có: $b^2p\vdots a^2\Rightarrow b^2\vdots a^2$ vì $p<a^2$, tương tự $a^2\vdots b^2$, suy ra $a^2=b^2$.
    Từ đó ta có: $p=\dfrac{a^2}{2}$, suy ra $a^2\vdots 2 \Rightarrow a=2m$ và do đó mà $p=2m^2$ trái giả thiết.
    Vậy $p$ là hợp số.

  3. Cám ơn nightfury đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này