Câu 1.
a) Giải phương trình: $x\sqrt{2x-2}+5x=9$.
b) Cho ba số thực $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$. Tính giá trị biểu thức: $$A=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{zx}{y^2+2zx}+\dfrac {xy}{z^2+2xy}$$
Câu 2.
Cho phương trình: $x^2-5mx-4m=0=0\quad(1)$.
a) Định $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1 +12m}{m^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3.
Cho $\Delta ABC$ có $BC$ là cạnh dài nhất. Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $D,E$ sao cho $BD=BA$, $CE=CA$. Đường thẳng qua $D$ và song song $AB$ cắt $AC$ tại $M$. Đường thẳng qua $E$ và song song $AC$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh $AM=AN$.
Câu 4.
Cho $x,y$ là hai số dương thỏa mãn $x+y=1$.
Chứng minh rằng: $3(3x-2)^2+\dfrac{8x}{y}\ge 7$.
Câu 5.
Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ và cát tuyến $AEF$ đến đường tròn ($EF$ không qua $O$ và $B,C$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$. $DE,DF$ cắt $AO$ theo thứ tự ở $M$ và $N$. Chứng minh:
a) $\Delta CEF \sim \Delta DNM$.
b) $OM=ON$.
Câu 6.
Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số $M=a^2+ab+b^2;a,b\in \mathbb{N^*}$ là $0$.
a) Chứng minh rằng $M$ chia hết cho $20$.
b) Tìm chữ số hàng chục của $M$.