Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (5 điểm): Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm GTLN, GTNN của:
$P=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z ^2}$
Câu 2 (5 điểm). Xác định tất cả các đa thức có dạng
$P(x)=n!x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+(-1)^n(n+1)n$ ($n \in N^*$)
với các hệ số nguyên sao cho $P(x)$ có đủ $n$ nghiệm thực $x_1, x_2,...,x_n$ thỏa mãn điều kiện: $k \le x_k \le k+1$ với mọi $k=1,2,...,n$
Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có 2 đường cao $AA'$ và $CC'$ cắt nhau tại $H$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng $AA'$ và $CC'$ lần lượt $AB, BC$ tại $P$ và $Q$. Các đường thẳng đi qua $P$ vuông góc ới $AB$, đi qua $Q$ vuông góc với $BC$ cắt nhau tại $R$. Chứng minh rằng:
a) $BR$ là phân giác góc $ABC$
b) $H,M,R$ thẳng hàng với $M$ là trung điểm $AC$
Câu 4 (5 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ, không chia hết cho $5$ và nhỏ hơn $40$. Tìm số tự nhiên k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con có $k$ phần tử của $S$ đều tồn tại $2$ số chia hết cho nhau