Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 10 của 10

Chủ đề: BĐT

  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119


    Một số bài toán của VasC:
    Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{2a^2+7}+\frac{1}{2b^2+7}+\frac{1}{2c^2+7 }\leq \frac{1}{3}$
    Bài 2:Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a\geq b\geq 1\geq c,a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a^2+3}+\frac{1}{b^2+3}+\frac{1}{c^2+3} \leq \frac{3}{4}$
    Bài 3:Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:
    $\frac{1}{1+a^5}+\frac{1}{1+b^5}+\frac{1}{1+c^5} \geq \frac{3}{2}$
    Sửa lần cuối bởi lequangnhat20; 09/04/15 lúc 05:14 AM.
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  2. Cám ơn lequangnhat20, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Tích Cực
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53
    Câu 1:
    $\sum \frac{1}{2a^{2}+7}\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+7}\geq \frac{1}{3}$
    Ta có:$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+7}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{2\left ( \sum a^{4} \right )+7\left ( \sum a^{2} \right )}$.
    do vậy cần chứng minh:$\frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{2\left ( \sum a^{4} \right )+7\left ( \sum a^{2} \right )}$ $\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum a^{4}\geq \sum a^{2}$.
    Mà $\sum a^{4}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{3}$ , $\sum a^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}= 3$.
    Suy ra đpcm.

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi lilac Xem bài viết
    Câu 1:
    $\sum \frac{1}{2a^{2}+7}\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+7}\geq \frac{1}{3}$
    Ta có:$\sum \frac{a^{2}}{2a^{2}+7}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{2\left ( \sum a^{4} \right )+7\left ( \sum a^{2} \right )}$.
    do vậy cần chứng minh:$\frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{2\left ( \sum a^{4} \right )+7\left ( \sum a^{2} \right )}$ $\geq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \sum a^{4}\geq \sum a^{2}$.
    Mà $\sum a^{4}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{3}$ , $\sum a^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}= 3$.
    Suy ra đpcm.
    Nếu làm như bạn thì sẽ không thể có điểm rơi $a=2;b=c=\frac{1}{2}$ được!
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  6. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Tích Cực
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Nếu làm như bạn thì sẽ không thể có điểm rơi $a=2;b=c=\frac{1}{2}$ được!
    Vậy cách làm bài này ra sao vậy?

  8. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi lilac Xem bài viết
    Vậy cách làm bài này ra sao vậy?
    Với những bài có điểm rơi đặc biệt thế này thì dồn biến sẽ nhiều khả năng thành công.Cụ thể với bài này ta sẽ chứng minh $f(a,t,t)\geq f(a,b,c)$ và còn lại ta phải chứng minh $\frac{1}{3}\geq f(a,t,t)$ với $t=\frac{b+c}{2}$ khi đó BĐT sẽ chỉ còn là 1 biến.
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  10. Cám ơn toiyeutoan, lilac, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Một số bài toán của VasC:
    Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{2a^2+7}+\frac{1}{2b^2+7}+\frac{1}{2c^2+7 }\leq \frac{1}{3}$
    Chúng ta viết lại như sau
    $$\sum_{cyc}\dfrac{a^2}{2a^2+7}\ge \dfrac{1}{3}$$
    Theo Cauchy-Schwarz, ta có
    $$K:=\sum_{cyc}\dfrac{a^2(a+m)^2}{(2a^2+7)(a+m)^2} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2+3m)^2}{\sum_{cyc}(2a^2+7)(a+m) ^2 }$$
    Khi đó dấu bằng xảy ra khi
    $$\dfrac{a}{(2a^2+7)(a+m)}=\dfrac{b}{(2b^2+7)(b+m) } =\dfrac{c}{(2c^2+7)(c+m)} $$
    Từ đấy thế cặp điểm nhạy cảm vào chúng ta thu được $m=1$. Vì thế ta có
    $$K\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2+3)^2}{2(a^4+b^4+c^4)+4(a^3+b^3 +c^3)+9(a^2+b^2+c^2)+63}$$
    Tới đây chúng ta chỉ cần kiểm chứng với $a=b$ là đủ, hay
    $$3(2a^2+(3-2a)^2+3)^2- (2(2a^4+(3-2a)^4+4(2a^3+(3-2a)^3)+9(2a^2+(3-2a)^2)+63)\ge 0$$
    Rút gọn ta được
    $$18(2a-1)^2(a-1)^2 \ge 0$$
    Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$, hoặc $a=b=\dfrac{1}{2}$ và $c=2$, hoặc hoán vị

  12. Cám ơn lilac, lequangnhat20, toiyeutoan, Viet_1846, dogsteven đã cám ơn bài viết này
  13. #7
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    [U]
    Bài 2:Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a\geq b\geq 1\geq c,a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a^2+3}+\frac{1}{b^2+3}+\frac{1}{c^2+3} \leq \frac{3}{4}$
    $
    Viết lại bất đẳng thức như như sau
    $$\dfrac{(a-1)^2(4a-5)}{a^2+3}+ \dfrac{(b-1)^2(4b-5)}{b^2+3}\le \dfrac{(c-1)^2(5-4c)}{c^2+3}$$
    Vì $$ \dfrac{(c-1)^2(5-4c)}{c^2+3} \ge \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{(c-1)^2(5-4c)}{a^2+3} +\dfrac{(c-1)^2(5-4c)}{b^2+3} \right]$$
    Do đó ta cần chứng minh $(c-1)^2(5-4c) \ge (a-1)^2(4a-5)+(b-1)^2(4b-5)$ là đủ
    $$(c-1)^2(5-4c)=(4a+4b-7)(2-a-b)^2=(4a+4b-7)\left[ (a-1)^2+(b-1)^2+2(1-a)(1-b)\right] $$
    $$=(a-1)^2(4a-5)+(b-1)^2(4b-5)+(4b-2)(a-1)^2+(4a-2)(b-1)^2 +2(4a+4b-7)(1-a)(1-b)$$
    $$\ge (a-1)^2(4a-5)+(b-1)^2(4b-5)$$
    Vì thế hoàn tất chứng minh. Dấu bằng xảu ra khi $a=b=c=1$

  14. Cám ơn lequangnhat20, toiyeutoan, binhnhaukhong, lilac đã cám ơn bài viết này
  15. #8
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Bài 3:Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:
    $\frac{1}{1+a^5}+\frac{1}{1+b^5}+\frac{1}{1+c^5} \geq \frac{3}{2}$
    Bài này to chứ không khó, chủ yếu là UCT (biện luận tí) không mà vì có casio mà đâu ngại

  16. Cám ơn lilac đã cám ơn bài viết này
  17. #9
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Em chỉ chia 2 TH thôi lấy $1/2$ làm điểm nhạy cảm
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  18. #10
    Thành Viên Tích Cực
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Em chỉ chia 2 TH thôi lấy $1/2$ làm điểm nhạy cảm
    Có thể trình bày giải câu 1 bằng cách dồn biến như bạn đã nói được không?

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này