Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 7 của 7

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53


    1,Với a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+\ frac{1}{c^{2}+a^{2}+2} \leq \frac{3}{4}$
    2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{1+6a^{2}}+\frac{1}{1+6b^{2}}+\frac{1}{1+ 6c^{2}}\geq \frac{9}{5}$

  2. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi lilac Xem bài viết
    1,Với a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}+ \frac{1}{b^{2}+c^{2}+2}+ \frac{1}{c^{2}+a^{2}+2} \leq \frac{3}{4}$
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
    \[\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2 }+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2} \geq \frac{3}{2}\]
    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\begin{align*} VT & \geq \frac{\left ( \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \right )^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)} \\
    &= \frac{a^2+b^2+c^2+ \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{b^2+c^2}+ \sqrt{b^2+c^2} \sqrt{c^2+a^2} + \sqrt{c^2+a^2} \sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2+c^2+3} \\ & \geq \frac{2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2+3} \\ & = \frac{3 \left ( a^2+b^2+c^2 \right ) + (a+b+c)^2}{2 \left (a^2+b^2+c^2+3 \right ) } = \frac{3}{2} \end{align*}\]
    Điều phải chứng minh !

  3. Cám ơn lequangnhat20, binhnhaukhong, lilac, mthao063 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Chính Thức ĐểGióCuốnĐi's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    22
    Bài viết
    24
    Cám ơn (Đã nhận)
    20
    Anh ơi em hỏi anh chút anh tại sao bất đẳng thức lại đổi chiếu được như thế ạ.
    ღೋღ To The Wind Swept Away ღೋღ

  5. #4
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi ĐểGióCuốnĐi Xem bài viết
    Anh ơi em hỏi anh chút anh tại sao bất đẳng thức lại đổi chiếu được như thế ạ.
    Gió cuốn em đi nên em đổi chiều

    Đẹp trai (-1)=Xấu trai

  6. #5
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi ĐểGióCuốnĐi Xem bài viết
    Anh ơi em hỏi anh chút anh tại sao bất đẳng thức lại đổi chiếu được như thế ạ.
    Lấy 1/2 trừ vào mỗi cái nên nó đổi chiều như trên

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Có 1 cách khác như sau tạm gọi là phương pháp yếu tố ít nhất:
    BĐT cần chứng minh tương đương với:
    $\sum (\frac{1}{2}-\frac{1}{a^2+b^2+2})\geq \frac{3}{4}$

    BĐT đc viết lại: $\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+ 2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2}\geq \frac{3}{2}$
    Ta có hằng đẳng thức
    $a^2+b^2=\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$
    BĐT cần CM tương đương:
    $\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}+\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\geq 3$
    Ta sẽ tìm cách đánh giá cho:$\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}$
    Bằng Cauchy-Schwarz ta dễ có được:
    $\sum \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

    Mà $\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+b^2+2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

    Vậy ta sẽ CM:$\geq \frac{4(a+b+c)^2+4(a-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$
    Điều này cho ta: $(a-b)(b-c)\geq 0$
    Tương tự ta cũng quy BĐT về CM:$(a-b)(c-a)\geq 0,(c-a)(b-c)\geq 0$
    Thế mà $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\geq 0$ nên ít nhất 1 trong các đánh giá trên là đúng vậy ta có đpcm.
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  7. Cám ơn longatk08, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  8. #6
    Thành Viên Chính Thức ĐểGióCuốnĐi's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    22
    Bài viết
    24
    Cám ơn (Đã nhận)
    20
    Lúc đầu em cứ nghĩ là chia đi mà không phải, cảm ơn thầy ạ.
    ღೋღ To The Wind Swept Away ღೋღ

  9. #7
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    9
    2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{1+6a^{2}}+\frac{1}{1+6b^{2}}+\frac{1}{1+ 6c^{2}}\geq \frac{9}{5}$[/QUOTE]
    Ta dễ dàng biến đổi BĐT về dạng tam thức bậc 2 theo $abc$ với hệ số của $abc$ có bậc cao nhất là không âm nên áp dụng ngay định lý ABC ta chỉ cần chứng minh BĐT trong 2 TH là:
    TH1: 2 biến bằng nhau
    TH2: có 1 biến =0
    Cả 2 TH trên đều chỉ là biến đổi tương đương.
    Đề phải là $a,b,c$ không âm khi đó có 2 TH xảy ra dấu bằng

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này