Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối
Kết quả 1 đến 10 của 14

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Feb 2015
    Tuổi
    23
    Bài viết
    44
    Cám ơn (Đã nhận)
    11


    Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc=1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {bc + b + 1} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {ca + c + 1} \right)}^2}}} \le \frac{1}{{a + b + c}}$

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Đề bài này sai vì BĐT này không đúng trong TH $a=2,b=3,c=\frac{1}{6}$ hay $a=b=2,c=\frac{1}{4}$ bạn có thể kiểm tra.(Nếu sai thì sửa đề nhé mình sẽ đăng lời giải).
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  3. #3
    Thành Viên Tích Cực
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    41
    Ban ơi đề pahir như tế này thì phải
    $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$
    Ta có $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}=\sum \frac{(\frac{a}{ab+a+1})^{2}}{a}$
    Áp dụng bất đẳng thức caychuaswat ta có:
    P$\geq \sum \frac{(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ ca+c+1})^{2}}{a+b+c}$
    Mà $\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+c+1}+\frac{c}{ca+c+1 }=1$( Cái này đễ bạn tự chứng minh nha)
    suy ra dpcm

  4. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi mzmxmcmvmbmnmm1 Xem bài viết
    Ban ơi đề pahir như tế này thì phải
    $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$
    Ta có $\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}=\sum \frac{(\frac{a}{ab+a+1})^{2}}{a}$
    Áp dụng bất đẳng thức caychuaswat ta có:
    P$\geq \sum \frac{(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ ca+c+1})^{2}}{a+b+c}$
    Mà $\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+c+1}+\frac{c}{ca+c+1 }=1$( Cái này đễ bạn tự chứng minh nha)
    suy ra dpcm
    Chú ý,với $abc=1$ ta chỉ có đẳng thức sau:
    $\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ac+c+1 }=1$

    - - - - - - cập nhật - - - - - -

    Đề bài bị ngược dấu:
    Vì giả thiết $abc=1$ nên chắc chắn tồn tại $x,y,z$ thực dương sao cho $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
    Thay vào và ta có BĐT cần chứng minh tương đương với:
    $\frac{xyz(x+y+z)}{(xy+yz+xz)^2}\geq \frac{xyz}{x^2z+y^2x+z^2y}$

    $\Leftrightarrow(x+y+z)(x^2z+y^2x+z^2y)\geq (xy+yz+xz)^2$

    $\Leftrightarrow x^3z+y^3x+z^3y\geq xyz(x+y+z)$

    $\Leftrightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\geq x+y+z$ (hiển nhiên theo Cauchy-Schwarz)
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  5. #5
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Feb 2015
    Tuổi
    23
    Bài viết
    44
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Cho $a,b$ là 2 số thực dương thỏa mãn $ab \ge 1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}$

  6. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  7. #6
    Super Moderator lequangnhat20's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    582
    Cám ơn (Đã nhận)
    885
    Trích dẫn Gửi bởi dungnhandanhtinhyeu Xem bài viết
    Cho $a,b$ là 2 số thực dương thỏa mãn $ab \ge 1$. Chứng minh rằng:
    $\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{2}{{1 + ab}}$
    $\Leftrightarrow \frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\geq 0$

    $\Leftrightarrow \frac{(b-a)}{(1+ab)}(\frac{a+ab^2-b-ba^2}{(1+a^2)(1+b^2)})\geq 0$

    $\Leftrightarrow \frac{(b-a)^2(ab-1)}{(1+ab)(1+a^2)(1+b^2)}\geq 0$ (ĐFCM)
    NHẬT THUỶ IDOL

  8. Cám ơn toiyeutoan, dungnhandanhtinhyeu, Daylight Nguyễn đã cám ơn bài viết này
  9. #7
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Feb 2015
    Tuổi
    23
    Bài viết
    44
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:\[\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

  10. #8
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi dungnhandanhtinhyeu Xem bài viết
    Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:\[\frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]
    Do $x,y,z=1$ nên tồn tại 3 số $a,b,c$ thỏa mãn $\displaystyle x^2=\frac{b}{a};y^2=\frac{c}{b},z^2=\frac{a}{c}$Ta cần chứng minh:
    \[\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{ \frac{c}{c+a}} \leq \frac{3\sqrt{2}}{2}\]
    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\begin{align*} VT^2 & \leq 2\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c} {(c+a)(c+b)} \right ) \\ & = \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{9}{2} \end{align*} \\ \Rightarrow VT \leq \frac{3\sqrt{2}}{2} \ \ \ \blacksquare\]

  11. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  12. #9
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Feb 2015
    Tuổi
    23
    Bài viết
    44
    Cám ơn (Đã nhận)
    11
    Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $3xy+yz+2zx=6$. Tìm GTLN của $P = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{4 + {y^2}}} + \frac{9}{{9 + {z^2}}}$
    Mọi người ơi giúp mình với

  13. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  14. #10
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi dungnhandanhtinhyeu Xem bài viết
    Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn $3xy+yz+2zx=6$. Tìm GTLN của $P = \frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{4}{{4 + {y^2}}} + \frac{9}{{9 + {z^2}}}$
    Mọi người ơi giúp mình với
    Đặt $\displaystyle x=a, \frac{y}{2}=b,\frac{z}{3}=c$
    Điều kiện bài toán trở thành $ab+bc+ca=1$
    Ta có:
    \[\begin{align*} P &= \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2} \\ &= \frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+\frac{1} {(c+a)(c+b)} \\ &=\frac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{2(a+b+c)( ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \\ &= 2+ \frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq 2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} \end{align*}\]
    Vậy $P_{max}=\frac{9}{4}$ khi và chỉ khi $x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

  15. Cám ơn dungnhandanhtinhyeu, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
 

 
Trang 1 của 2 12 CuốiCuối

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này