Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53


    Cho a,b,c>0 thỏa mãn: a+b+c=3
    Chứng minh rằng:
    $\frac{a\left ( a-2b+c \right )}{ab+1}+\frac{b\left ( b-2c+a \right )}{bc+1}+\frac{c\left ( c-2a+b \right )}{ac+1}\geq 0$

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Ta có bổ đề sau(bài toán của Vasile Cirtoaje):Với mọi số thực $a,b,c$ bất kì ta có BĐT sau:
    $(a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^3b+b^3c+c^3a)$
    Áp dụng bổ đề trên ta sẽ CM với điều kiện bài ra:

    $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

    Có $\frac{a}{ab+1}=a-\frac{a^2b}{ab+1}\geq a-\frac{1}{2}\sqrt{a^3b}$
    Vậy $VT\geq a+b+c-\frac{1}{2}(\sum \sqrt{a^3b})$
    Theo bổ đề trên thì $(\sum \sqrt{a^3b})\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=3$.Vậy ta có ĐPCM
    Trở lại với bài toán BĐT đề bài có thể đc viết lại thành:
    $\sum \frac{a^2+ac+2}{ab+1}\geq 6$
    $\Leftrightarrow \sum \frac{2a+ac+1}{ab+1}\geq 6$
    Hiển nhiên đúng theo AM-GM kết hợp với bổ đề trên.
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  3. Cám ơn toiyeutoan, NPTV1207 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Tích Cực
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53
    Chứng minh bổ đề sao vậy bạn?

  5. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi lilac Xem bài viết
    Chứng minh bổ đề sao vậy bạn?
    Nó ảo thế này đây:
    $2.VT-2.VP=(a^2-2ab+bc-c^2+ca)^2+(b^2-2bc+ca-a^2+ab)^2+(c^2-2ca+ab-b^2+bc)^2$
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này