Cho số nguyên dương $k$ thỏa mãn\[C_{2k}^k + C_2^1C_{2k - 2}^{k - 1} + C_4^2C_{2k - 4}^{k - 2} + \ldots + C_{2k - 2}^{k - 1}C_2^1 + C_{2k}^k = 1024\]Tính giá trị của biểu thức\[F=C_{2k}^k + \frac{1}{2}C_2^1C_{2k - 2}^{k - 1} + \frac{1}{3}C_4^2C_{2k - 4}^{k - 2} + \ldots + \frac{1}{{k + 1}}C_{2k}^k\]