Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145


    Cho a,b,c là ba số dương.CMR:
    $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}$+$\sqrt {\frac{c}{c+a}}$$\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

  2. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi toiyeutoan Xem bài viết
    Cho a,b,c là ba số dương.CMR:
    $\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}$+$\sqrt {\frac{c}{c+a}}$$\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$
    Áp dụng bất đẳng thức $Bunhiacôpxki$ Ta có:
    \[\begin{align*} VT^2 & \leq 2(a+b+c)\left (\frac{a}{(a+b)(a+c)}+ \frac{b}{(b+c)(b+a)}+\frac{c}{(c+a)(c+b)} \right )\\ &= \frac{4(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = 4+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \leq \frac{9}{2} \end{align*} \\ \Rightarrow \sqrt{\frac{a}{a+b}}+ \sqrt{\frac{b}{b+c}}+ \sqrt{\frac{c}{c+a}} \leq \frac{3}{\sqrt{2}}\]
    Điều phải chứng minh !

  3. Cám ơn toiyeutoan, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Nhiệt Huyết toiyeutoan's Avatar
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145
    Cho em hỏi là liệu bdt sau có đúng không?(cũng với a,b,c dương)
    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}$+$\sqrt {\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

  5. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi toiyeutoan Xem bài viết
    Cho em hỏi là liệu bdt sau có đúng không?(cũng với a,b,c dương)
    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}$+$\sqrt {\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$
    Điều kiện với 3 số không âm a,b,c sao cho không có hai số đồng thời bằng 0.
    Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
    \[\begin{align*} a+b+c \geq 2 \sqrt{a(b+c)} & \Leftrightarrow \sqrt{a}\left ( a+b+c \right ) \geq 2a\sqrt{b+c} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}} \geq \frac{2a}{a+b+c} \end{align*}\]
    Tương tự suy ra: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{b}{c+a}} \geq \dfrac{2b}{a+b+c}\\ \sqrt{\dfrac{c}{a+b}} \geq \dfrac{2c}{a+b+c} \end{matrix}\right.$
    Từ đó ta có: \[ \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{ \frac{b}{c+a}}+\sqrt{ \frac{c}{a+b}} \geq \frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2\]
    Dấu "=" xảy ra khi $a=b;c=0$ và các hoán vị của nó.

  7. Cám ơn toiyeutoan, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này