Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4

Chủ đề: bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145


    Cho a,b,c dương và abc$\geq$1.CMR:
    \[27\left( {{a^3} + {a^2} + a + 1} \right)\left( {{b^3} + {b^2} + b + 1} \right)\left( {{c^3} + {c^2} + c + 1} \right) \ge 64\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {{b^2} + b + 1} \right)\left( {{c^2} + c + 1} \right)\]
    Sửa lần cuối bởi Viet_1846; 08/03/15 lúc 06:45 PM.

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Bằng vài biến đổi tương đương thì từ bài toán của bạn dẫn đến 1 BĐT khá thú vị sau:
    $\sum \frac{a^3}{a^3+a^2+a+1}\geq \frac{3}{4}$ với đk a,b,c như trên.
    Ngoài ra thì BĐT sau cũng đúng:
    $\sum \frac{a^5}{a^5+a^4+a^3+1}\geq \frac{3}{4}$ (đk như trên)
    Với bài này thì bạn nên tìm hiểu thêm về định lý ABC mở rộng,còn nếu có cách nào khả quan hơn mình sẽ up sau...

  3. Cám ơn lequangnhat20, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    16
    Cám ơn (Đã nhận)
    17
    Trích dẫn Gửi bởi toiyeutoan Xem bài viết
    Cho a,b,c dương và abc$\geq$1.CMR:
    \[27\left( {{a^3} + {a^2} + a + 1} \right)\left( {{b^3} + {b^2} + b + 1} \right)\left( {{c^3} + {c^2} + c + 1} \right) \ge 64\left( {{a^2} + a + 1} \right)\left( {{b^2} + b + 1} \right)\left( {{c^2} + c + 1} \right)\]
    Ta có BĐT đã cho có thể viết lại như sau:

    \[\prod {\left( {\frac{{{a^3} + {a^2} + a + 1}}{{{a^2} + a + 1}}} \right) \ge \frac{{64}}{{27}}} \Leftrightarrow \prod {\left( {a + \frac{1}{{{a^2} + a + 1}}} \right) \ge \frac{{64}}{{27}}} \]

    Ta lại có: \[a + \frac{1}{{{a^2} + a + 1}} \ge \frac{2}{3}\left( {a + 1} \right)\]

    Thật vậy BĐT trên tương đương: \[\frac{{\left( {a + 1} \right){{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{{a^2} + a + 1}} \ge 0\]

    Suy ra \[\prod {\left( {a + \frac{1}{{{a^2} + a + 1}}} \right) \ge \frac{8}{{27}}\prod {\left( {a + 1} \right)} } \]

    Bây giờ chỉ cần chứng minh: \[\prod {\left( {a + 1} \right)} \ge 8\]

    Cái này quá dễ không thèm chứng minh



    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Bằng vài biến đổi tương đương thì từ bài toán của bạn dẫn đến 1 BĐT khá thú vị sau:
    $\sum \frac{a^3}{a^3+a^2+a+1}\geq \frac{3}{4}$ với đk a,b,c như trên.
    Ngoài ra thì BĐT sau cũng đúng:
    $\sum \frac{a^5}{a^5+a^4+a^3+1}\geq \frac{3}{4}$ (đk như trên)
    Với bài này thì bạn nên tìm hiểu thêm về định lý ABC mở rộng,còn nếu có cách nào khả quan hơn mình sẽ up sau...
    Là gì vậy bạn, up lên cho mình mở rộng tầm mắt với.

  5. Cám ơn lequangnhat20, toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Có 1 lời giải bằng uvw cho bài toán của mình,tất nhiên nó bao gồm khá nhiều tính toán rắc rối...
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  7. Cám ơn toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này