Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    30
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    449


    Cho $ a,b,c \ge 0 $ thỏa mãn $ (a+b)(b+c)(c+a) \neq 0 $.Chứng minh rằng
    \[ \dfrac{a^2+2bc}{(b+c)^2} + \dfrac{b^2+2ca}{(c+a)^2}+\dfrac{c^2+2ab}{(a+b)^2} +
    \dfrac{3abc}{4(a^3+b^3+c^3)} \ge \dfrac{5}{2} \]
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 26/08/14 lúc 09:52 PM.

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ac,r=abc$.Do tính thuần nhất ,không mất tính tổng quát chuẩn hóa $p=1$.Khi đó BĐT của chúng ta tương đương với:

    $f(r)=81r^3+r^2(122-96q)+r(24q^3+9q^2-148q+44)-24q^4+14q^3+46q^2-28q+4\geq 0$

    Do $q\leq \frac{1}{3}$ nên dễ thấy rằng $f"(r)>0$.Có nghĩa là $f'(r)$ đồng biến.
    Có $f'(r)=243r^2+2r(122-96q)+24q^3+9q^2-148q+44.$

    Xét TH $0<q\leq \frac{1}{4}\Rightarrow r\geq 0$ Do $f'(r)$ đồng biến nên $f'(r)\geq f'(0)=24q^3+9q^2-148q+44>0$ trong TH này.

    Xét $q\in \left [ \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right]$ thì $r\geq \frac{4q-1}{9}$ nên $f'(r)\geq f'(\frac{4q-1}{9})=216q^3-255q^2-380q+179>0$ trong với mọi $q\in \left [ 0,\frac{1}{3} \right ]$

    Vậy ta có $f(r)$ đồng biến. Vậy ta chỉ cần chứng minh BĐT ban đầu trong 2 trường hợp:

    1. $c=0$ chuẩn hóa $b=1$ thì BĐT cần chứng minh tương đương với:

    $a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{2a}{(1+a)^2}\geq \frac{5}{2}$
    $\Leftrightarrow \frac{(a-1)^2(2a^4+8a^3+11a^2+8a+2)}{2a^2(a+1)^2}\geq 0$ (đúng với mọi $a$ thực dương.)

    2.$a=b=1$ thì BĐT tương đương:

    $\frac{2+4c}{(1+c)^2}+\frac{c^2+2}{4}+\frac{3c}{4( c^3+2)}\geq \frac{5}{2}$

    $\Leftrightarrow \frac{(c-1)^2c(c^4+4c^3-2c+3)}{4(c+1)^2(c^3+2)}\geq 0$ (đúng)

    Vậy BĐT đã cho đúng.Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$ hay $a=b,c=0$ và các hoán vị.
    OFF vĩnh viễn không ngày trở lại!

  3. Cám ơn ツToánღ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này