Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3

Chủ đề: BÁT ĐẲNG THỨC

  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    41

  2. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi mzmxmcmvmbmnmm1 Xem bài viết
    1, cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=3.CMR:
    $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
    Viết lại bất đẳng thức như sau
    $$\sum_{cyc}\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2+2}\ge 3 $$
    Tới đây bạn chú ý điểm nhạy cảm không có, nên tư tin Cauchy-Schwarz, giả sử $a\ge b\ge c$, ta có
    $$\sum_{cyc}\dfrac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2+b^2+2} \ge \dfrac{2(a+b+c)^2+2(a-c)^2}{a^2+b^2+c^2+3} $$
    Do đó ta cần chứng minh
    $$2(a+b+c)^2+2(a-c)^2 \ge 3\left[a^2+b^2+c^2+\dfrac{(a+b+c)^2}{3} \right] $$
    Hay
    $$(a-c)^2\ge a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)$$
    Bất đẳng thức trên luốn đúng vì sau khi rút gọn ta được $(a-b)(b-c)\ge 0$
    Hoàn tất chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$.

  3. Cám ơn toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi mzmxmcmvmbmnmm1 Xem bài viết
    1, cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=3.CMR:
    $\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}+2}\leq \frac{3}{4}$
    Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\begin{align*} VT & \geq \frac{\left ( \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2} \right )^2}{2(a^2+b^2+c^2+3)} \\
    &= \frac{a^2+b^2+c^2+ \sqrt{a^2+b^2} \sqrt{b^2+c^2}+ \sqrt{b^2+c^2} \sqrt{c^2+a^2} + \sqrt{c^2+a^2} \sqrt{a^2+b^2}}{a^2+b^2+c^2+3} \\ & \geq \frac{2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2+3} \\ & = \frac{3 \left ( a^2+b^2+c^2 \right ) + (a+b+c)^2}{2 \left (a^2+b^2+c^2+3 \right ) } = \frac{3}{2} \end{align*}\]
    Điều phải chứng minh !

  5. Cám ơn toiyeutoan đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này