Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 6 của 6

Chủ đề: Cực trị

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145


    Cho x,y,z là các số không âm đôi một có tổng dương.Tìm GTNN của
    A=
    $\frac{x+y}{x+z}+\frac{x+y}{y+z}+ \frac{y+z}{y+x}+ \frac{y+z}{z+x}+ \frac{z+x}{z+y}+ \frac{z+x}{x+y}-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$
    Xin lỗi, máy mình bị lắc nên công thức toán gõ sai, 6 phân số đầu của A có dạng tương tự như nhau.
    Sửa lần cuối bởi HongAn39; 25/02/15 lúc 05:56 PM.
    KUGO AKASHI

  2. Cám ơn Táo_Cass đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết toiyeutoan's Avatar
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145
    Đã sửa lại đúng rồi
    KUGO AKASHI

  4. #3
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi toiyeutoan Xem bài viết
    Cho x,y,z là các số không âm đôi một có tổng dương.Tìm GTNN của
    A=
    $\frac{x+y}{x+z}+\frac{x+y}{y+z}+ \frac{y+z}{y+x}+ \frac{y+z}{z+x}+ \frac{z+x}{z+y}+ \frac{z+x}{x+y}-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$
    Xin lỗi, máy mình bị lắc nên công thức toán gõ sai, 6 phân số đầu của A có dạng tương tự như nhau.
    Dự đoán dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$. Ta sẽ đi chứng minh:
    $$\frac{x+y}{x+z}+\frac{x+y}{y+z}+ \frac{y+z}{y+x}+ \frac{y+z}{z+x}+ \frac{z+x}{z+y}+ \frac{z+x}{x+y}-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx} \geq 5$$
    \[\left\{\begin{matrix} \sum \left (\dfrac{y+z}{z+x}+ \dfrac{z+x}{z+y} -2 \right ) = \sum \dfrac{\left ( x-y \right )^2}{(x+z)(y+z)}\\ \dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}-1= \dfrac{1}{2(xy+yz+zx)} \sum \left ( x-y \right )^2 \end{matrix}\right.\]
    Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
    $$S_x(y-z)^2+S_y(z-x)^2+S_z(x-y)^2 \geq 0 $$
    Với $\left\{\begin{matrix}
    S_x=\dfrac{1}{(x+y)(x+z)}-\dfrac{1}{2(xy+yz+zx)}\\
    S_y=\dfrac{1}{(y+z)(y+x)}-\dfrac{1}{2(xy+yz+zx)}\\
    S_z=\dfrac{1}{(z+x)(z+y)}-\dfrac{1}{2(xy+yz+zx)}
    \end{matrix}\right.$
    Không mất tính tổng quát giả sử $ x \geq y \geq z \Rightarrow \left\{\begin{matrix} S_z \geq S_y \geq S_x\\ S_z \geq 0; S_y \geq 0 \end{matrix}\right. $
    M
    râMặt khác ra lại có: \[S_x(y-z)^2+S_y(z-x)^2+S_z(x-y)^2 \\ = S_x(y-z)^2+S_y\left [(x-y)+(y-z) \right ]^2+S_z(x-y)^2 \\ \geq \left ( S_x+S_y \right )(y-z)^2+\left ( S_y+S_z \right )(x-y)^2\]
    Do đó ta sẽ chứng minh:
    \[S_x+S_y \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{(x+y)(x+z)}+\frac{1}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{1}{xy+yz+zx} \\ \Leftrightarrow (x+y+2z)(xy+yz+zx) \geq (x+y)(y+z)(z+x)\]
    Bất đẳng thức trên luôn đúng do:
    \[(x+y+2z)(xy+yz+zx) > \left ( x+y+z \right )(xy+yz+zx) \\ =(x+y)(y+z)(z+x)+xyz > (x+y)(y+z)(z+x)\]
    Điều phải chứng minh !

  5. Cám ơn toiyeutoan, Popeye, mzmxmcmvmbmnmm1, ツToánღ đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết toiyeutoan's Avatar
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145
    Hóa ra là SOS thẳng tiến, cảm ơn anh much
    KUGO AKASHI

  7. #5
    Moderator Popeye's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Ngày sinh
    10-12-1994
    Bài viết
    72
    Cám ơn (Đã nhận)
    96
    Một lời giải khác. Nhân tiện cho mình xin lỗi hôm qua nhé, hơi lỡ lời mặc dù bạn không làm gì quá đáng cả
    À mà nhân tiện lần 2 mình nhắc nhở bạn chú ý post bài đúng box thảo luận nhé. Những chủ đề của bạn... hầu hết đến 80% là sai box. Ví dụ bạn post Hệ phương trình vào box BĐT, số học, PTVT vào BĐT, post bài BĐT thì lại vào phần tài liệu + hướng dẫn viết bài. Rất mong bạn chú ý để góp phần phát triển diễn đàn. Thân

    Lời Giải
    Ta sẽ chứng minh
    $$\frac{x+y}{x+z}+\frac{x+y}{y+z}+ \frac{y+z}{y+x}+ \frac{y+z}{z+x}+ \frac{z+x}{z+y}+ \frac{z+x}{x+y}-\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx} \geq 5$$

    $$\frac{x+y}{x+z}+\frac{y+z}{z+x}=\dfrac{2y}{x+z}+ 1$$

    $$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}+2=\dfrac{(x+y +z)^2}{xy+yz+zx}$$
    Nên ta chỉ cần chứng minh
    $$\dfrac{2x}{y+z}+\dfrac{2y}{x+z}+\dfrac{2z}{x+y} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{xy+yz+zx}$$
    Hiển nhiên đúng theo C-S. Đẳng thức xảy ra khi ba biến bằng nhau hoặc hai biến bằng nhau, biến còn lại bằng 0
    IF YOU'RE GOOD AT SOMETHING, NEVER DO IT FOR FREE

  8. Cám ơn toiyeutoan, lilac đã cám ơn bài viết này
  9. #6
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Jul 2015
    Tuổi
    20
    Bài viết
    2
    Cám ơn (Đã nhận)
    0
    y= [ x^2 - (m+1)x -m^2 +4m -2] / ( x-1 ). tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. giup minh bai nay

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này