Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3

Chủ đề: bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145


    Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác.CMR:
    $\frac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{ 2}}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2$
    KUGO AKASHI

  2. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi toiyeutoan Xem bài viết
    Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác.CMR:
    $\frac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{ 2}}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2$
    Ta có:
    \[\left\{\begin{matrix} \dfrac{3(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{ 2}}-1 = \dfrac{(a+b)^2(a-b)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\dfrac{(b+c)^2(b-c)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}+\dfrac{(c+a)^2(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}\\ 1-\dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} = \dfrac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}+\dfrac{(b-c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}+\dfrac{(c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)} \end{matrix}\right.\]
    Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
    \[\sum \left [ \dfrac{(a+b)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} - \dfrac{1}{2(a^2+b^2+c^2)} \right ](a-b)^2 \geq 0\]
    Bất đẳng thức luôn đúng do : \[\dfrac{(a+b)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2} = \frac{2(a+b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2} > \frac{c^2+(a+b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2} > \frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)}\]
    Điều phải chứng minh !

  3. Cám ơn toiyeutoan, Hoang Long Le đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Nhiệt Huyết toiyeutoan's Avatar
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145
    cứ tưởng bdt nó dễ, ai dè...
    KUGO AKASHI

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này