Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    174
    Cám ơn (Đã nhận)
    145

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Áp dụng đánh giá quen thuộc:$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$ ta có:
    $$\frac{(a+b+c)^2}{9abc } \ge \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )~~~~(*)$$
    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
    $$\frac{1}{b+c^{2}+1}+\frac{1}{c+a^{2}+1}+\frac{1} {a +b^{2}+1} \le \frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{a+2b}~~~(1) $$
    Mặt khác ta có đánh giá sau:
    Với mọi $x,y,z>0$ thì:
    $$\frac{1}{x+y+z} \le \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} +\frac{1}{z}\right )$$
    Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$.
    Áp dụng đánh giá trên ta suy ra:
    $$\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{a+2b} \le \frac{1}{9} \left ( \frac{1}{b}+\frac{2}{c} \right )+\frac{1}{9}\left ( \frac{1}{c} +\frac{2}{a}\right )+\frac{1}{9}\left ( \frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right )\\ \Leftrightarrow \frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}+\frac{1}{a+2b} \le \frac{1}{3} \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )~~~~(2)$$
    Từ $(1)$ và $(2)$ ta được:
    $$\frac{1}{b+c^{2}+1}+\frac{1}{c+a^{2}+1}+\frac{1} {a +b^{2}+1} \le \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )~~~(**)$$
    Từ $(*)$ và $(**)$ ta có ngay điều phải chứng minh.
    Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.

  4. Cám ơn lequangnhat20, toiyeutoan, kalezim16 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này