Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Bất đẳng thức

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    130
    Cám ơn (Đã nhận)
    62


    Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $bc \ge a^2$. Tìm GTNN của $P = \frac{{{b^2}}}{{ac}} + \frac{{{c^2}}}{{ab}} + \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} $

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Success Nguyễn's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Hưng Nguyên, Nghệ An
    Tuổi
    21
    Bài viết
    178
    Cám ơn (Đã nhận)
    225
    Trích dẫn Gửi bởi changkho1997 Xem bài viết
    Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $bc \ge a^2$. Tìm GTNN của $P = \frac{{{b^2}}}{{ac}} + \frac{{{c^2}}}{{ab}} + \sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} $
    Đặt $b=xa,c=ya,xy\geq 1, x,y>0$
    P=$\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}+\sqrt{\frac{1}{ x+y}}+\sqrt{\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}}$
    $\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{x+y}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\sqrt{\frac{x^{2} }{xy+x}+\frac{y^{2}}{xy+y}}$
    $\geq x+y+\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\sqrt{\frac{\left (x+y \right )^{2}}{2xy+x+y}}$
    $\geq x+y+\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\sqrt{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2}+x+y}}$
    $=x+y+\frac{1}{\sqrt{x+y}}+\sqrt{\frac{1}{\frac{1} {2}+\frac{1}{x+y}}}$
    Ta có: $\left (x+y \right )^{2}\geq 4xy\geq 4\Rightarrow x+y\geq 2$
    $\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{x+y}}}\geq 1$
    $P\geq x+y+\frac{1}{\sqrt{x+y}}+1$
    Xét $f\left ( t \right )=t+\frac{1}{\sqrt{t}}+1,t\geq 2$
    $f'\left ( t \right )=1-\frac{1}{2\sqrt{t^{3}}}> 0$ với mọi $ t\geq 2$
    Hàm số luôn đồng biến vậy $f\left ( t \right )\geq f\left ( 2 \right )=3+\frac{1}{\sqrt{2}}$
    Dấu = xảy ra khi x=y $\Leftrightarrow a=b=c$
    @Nguyễn Thành Công

  4. Cám ơn VuDucTung, lequangnhat20, skylovely đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này