Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    130
    Cám ơn (Đã nhận)
    62


    Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{bc}}{{{c^2} + {b^2}}} + \frac{{ac}}{{{a^2} + {c^2}}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{15}}{4}$

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Jan 2015
    Tuổi
    22
    Bài viết
    7
    Cám ơn (Đã nhận)
    7
    Bất đẳng thức đã cho tương đương:
    $\frac{2{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{2{{\left ( b+c \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{2{{\left ( c+a \right)}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}+\frac{1}{a}+\f rac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 21$
    $VT\ge \frac{{{\left( 2a+2b+2c \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\fra c{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{4}{{{a}^{2}} +{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{ab+bc+ca}{abc}$
    Chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được:
    $\frac{4}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{ab+ bc+ca}{abc}\ge 21$
    $\Leftrightarrow \frac{4}{1-2\left( ab+bc+ca \right)}+\frac{ab+bc+ca}{abc}\ge 21$
    $\Leftrightarrow abc\le \frac{2{{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right)}{42\left( ab+bc+ca \right)-17}$
    Ta luôn có:
    $abc\le {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{3}}=\frac{1}{27}$
    Và $\frac{2{{\left( ab+bc+ca \right)}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right)}{42\left( ab+bc+ca \right)-17}\ge \frac{1}{27}\left( \forall ab+bc+ca\le \frac{1}{3} \right)$

  3. Cám ơn changkho1997 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi changkho1997 Xem bài viết
    Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng $\frac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{bc}}{{{c^2} + {b^2}}} + \frac{{ac}}{{{a^2} + {c^2}}} + \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge \frac{{15}}{4}$
    Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: \[VT=\dfrac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{bc}}{{{c^2} + {b^2}}} + \dfrac{{ac}}{{{a^2} + {c^2}}} + \dfrac{a+b+c}{4}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \\ = \dfrac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{bc}}{{{c^2} + {b^2}}} + \dfrac{{ac}}{{{a^2} + {c^2}}} +\dfrac{1}{4}\left ( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c }+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b} \right ) + \dfrac{3}{4} \\ = \left ( \dfrac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}}+\dfrac{a^2+b^2}{4ab}\right )+\left ( \dfrac{{bc}}{{{b^2} + {c^2}}}+\dfrac{b^2+c^2}{4bc}\right )+\left ( \dfrac{{ca}}{{{ac^2} + {a^2}}}+\dfrac{c^2+a^2}{4ca}\right )+\dfrac{3}{4} \\ \geq 2\sqrt{\left ( \dfrac{{ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.\dfrac{a^2+b^2}{4ab}\right )}+2\sqrt{\left ( \dfrac{{bc}}{{{b^2} . {c^2}}}+\dfrac{b^2+c^2}{4bc}\right )}+2\sqrt{\left ( \dfrac{{ca}}{{{ac^2} + {a^2}}}.\dfrac{c^2+a^2}{4ca}\right )}+\dfrac{3}{4} =\dfrac{15}{4}\]
    Điều phải chứng minh !

  5. Cám ơn changkho1997, giacmocuatomaimailacau đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này