Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5

Chủ đề: BÁT ĐẲNG THỨC

  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    41

  2. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi mzmxmcmvmbmnmm1 Xem bài viết
    1,cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm Max của
    P=$\sum \frac{bc}{a+bc}$
    Đề sai bạn nhé và bạn đánh tiêu đề không đúng

    $$\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{bc}{a+bc}=\sum_{cy c}\dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}=\sum_{cyc}\dfrac{b^2c^2}{ bc(a+b)(a+c)}= \sum_{cyc}\dfrac{b^2c^2}{(ac+bc)(ab+bc)}$$
    Vậy nên áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
    $$\displaystyle\sum_{cyc}\dfrac{bc}{a+bc} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ \displaystyle\sum_{cyc}(ac+bc)(ab+bc) } \ge \dfrac{3}{4}$$
    Sửa lần cuối bởi khanhsy; 05/02/15 lúc 08:46 AM.

  3. Cám ơn HongAn39 đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi mzmxmcmvmbmnmm1 Xem bài viết
    1,cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm Max của
    P=$\sum \frac{bc}{a+bc}$
    Đề phải là tìm giá trị nhỏ nhất chứ
    \[\begin{matrix} P &= \dfrac{ab}{c+ab} + \dfrac{bc}{a+bc}+ \dfrac{ca}{b+ca} = \dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}+ \dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}+ \dfrac{ca}{(b+a)(b+c)} \\ \\ & =\dfrac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}= 1-\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 1- \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\]

  5. Cám ơn lequangnhat20, khanhsy đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Thành Viên Tích Cực
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    18
    Bài viết
    88
    Cám ơn (Đã nhận)
    41
    Trích dẫn Gửi bởi HongAn39 Xem bài viết
    Đề phải là tìm giá trị nhỏ nhất chứ
    \[\begin{matrix} P &= \dfrac{ab}{c+ab} + \dfrac{bc}{a+bc}+ \dfrac{ca}{b+ca} = \dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}+ \dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}+ \dfrac{ca}{(b+a)(b+c)} \\ \\ & =\dfrac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}= 1-\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 1- \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \end{matrix}\]
    Em đã bảo là tìm mã mà, tìm min thì em làm được lâu rủi.Đề đúng là như thế này nè:
    Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm MAX
    A=$\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}+\frac{ab}{c+ab}-\frac{1}{4abc}$

    NHỜ CÁC ANH CHỊ GIẢI GIÙM EM

  7. #5
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi mzmxmcmvmbmnmm1 Xem bài viết
    Em đã bảo là tìm mã mà, tìm min thì em làm được lâu rủi.Đề đúng là như thế này nè:
    Cho a,b,c la các số dương thỏa mãn a+b+c=1.Tìm MAX
    A=$\frac{bc}{a+bc}+\frac{ca}{b+ca}+\frac{ab}{c+ab}-\frac{1}{4abc}$

    NHỜ CÁC ANH CHỊ GIẢI GIÙM EM
    Từ điều kiện của bài toán suy ra:
    \[\left\{\begin{matrix} (a+b)(b+c)(c+a) \leq \dfrac{8(a+b+c)^3}{27} = \dfrac{8}{27}\\ abc \leq \dfrac{(a+b+c)^3}{27}=\dfrac{1}{27} \end{matrix}\right.\]
    Ta có:
    $$\begin{matrix} P &= \dfrac{ab}{c+ab} + \dfrac{bc}{a+bc}+ \dfrac{ca}{b+ca} - \dfrac{1}{4abc} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~.\\ &= \dfrac{ab}{(c+a)(c+b)}+ \dfrac{bc}{(a+b)(a+c)}+ \dfrac{ca}{(b+a)(b+c)} - \dfrac{1}{4abc}\\ \\ & =\dfrac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} - \dfrac{1}{4abc} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~.\\ & =1-\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} - \dfrac{1}{4abc} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~. \\ & = 1-\left ( \dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} +\dfrac{1}{108abc}\right )-\dfrac{26}{108abc} ~~~~~~~~. \\ & \leq 1-2\sqrt{\dfrac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} .\dfrac{1}{108abc}} - \dfrac{26}{108abc}~~~~~~~~~~~. \\ & =1-2\sqrt{\dfrac{1}{54(a+b)(b+c)(c+a)}} - \dfrac{26}{108abc} \leq -6 ~~~~~~~~~~.\end{matrix}$$
    Vậy $A_{max}=-6$ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
    p/s: lần sau nhớ đăng đầy đủ đề nha. bớt đi một đại lượng sẽ ảnh hưởng tới kết quả của bài toán !

  8. Cám ơn cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này