Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    14
    Cám ơn (Đã nhận)
    4


    Cho tam giác ABC ngoai tiếp đường tròn tâm O, bán kính r. Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn tâm O lần lượt song song với các cạnh của tam giác ABC tạo thành ba tam giác mới( có 2 cạnh của tam giác ABC và cạnh thứ ba là tiếp tuyến với đường tròn tâm O, // với cạnh còn lai). Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp của các tam giác mới đó. C/m: r = r1 + r2 + r3.
    (Xin các bạn giải theo phương pháp của lớp 11 tức là dùng các phêp như vị tự ...)

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Tuổi
    20
    Bài viết
    22
    Cám ơn (Đã nhận)
    21
    Giả sử E'F, F'D, D'E lần lượt là 3 tiếp tuyến của (O), E'F//BC, F'D//CA, D'E//AB; D,D' thuộc BC; E,E' thuộc CA và F,F' thuộc AB. FE', FF', DD', ED' tiếp xúc (O) lần lượt tại M,N,P,Q. Dễ thấy M,O,Q và N,O,P thẳng hàng.
    Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE', BF'D và CD'E.
    Ta cần chứng minh $\frac{r1}{r}+\frac{r2}{r}+\frac{r3}{r}=1$.
    Xét $V_{(A;\frac{r1}{r})}:\Delta ABC\rightarrow \Delta AFE'$, suy ra $\frac{r1}{r}=\frac{AF}{AB}$.
    Tương tự $\frac{r2}{r}=\frac{F'B}{AB}$, $\frac{r3}{r}=\frac{ED'}{AB}$.
    Do FM và FN là 2 tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{FOM}=\widehat{FON}$. Tương tự $\widehat{D'OP}=\widehat{D'OQ}. Mà \widehat{MON}=\widehat{POQ}$ nên $\widehat{FON}=\widehat{POD'} suy ra F,O,D' thẳng hàng. Suy ra \Delta FON=\Delta POD'$ => FN=PD'. Tương tự NF'=PE nên FF'=ED'.
    Suy ra $\frac{r3}{r}=\frac{FF'}{AB}$.
    Vậy $\frac{r1}{r}+\frac{r2}{r}+\frac{r3}{r}=\frac{AF+F F'+F'B}{AB}=1$ (đpcm).

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Aug 2016
    Tuổi
    23
    Bài viết
    2
    Cám ơn (Đã nhận)
    0
    Trích dẫn Gửi bởi truonghuuduyen Xem bài viết
    Giả sử E'F, F'D, D'E lần lượt là 3 tiếp tuyến của (O), E'F//BC, F'D//CA, D'E//AB; D,D' thuộc BC; E,E' thuộc CA và F,F' thuộc AB. FE', FF', DD', ED' tiếp xúc (O) lần lượt tại M,N,P,Q. Dễ thấy M,O,Q và N,O,P thẳng hàng. Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AFE', BF'D và CD'E. Ta cần chứng minh $\frac{r1}{r}+\frac{r2}{r}+\frac{r3}{r}=1$. Xét $V_{(A;\frac{r1}{r})}:\Delta ABC\rightarrow \Delta AFE'$, suy ra $\frac{r1}{r}=\frac{AF}{AB}$. Tương tự $\frac{r2}{r}=\frac{F'B}{AB}$, $\frac{r3}{r}=\frac{ED'}{AB}$. Do FM và FN là 2 tiếp tuyến của (O) nên $\widehat{FOM}=\widehat{FON}$. Tương tự $\widehat{D'OP}=\widehat{D'OQ}. Mà \widehat{MON}=\widehat{POQ}$ nên $\widehat{FON}=\widehat{POD'} suy ra F,O,D' thẳng hàng. Suy ra \Delta FON=\Delta POD'$ => FN=PD'. Tương tự NF'=PE nên FF'=ED'. Suy ra $\frac{r3}{r}=\frac{FF'}{AB}$. Vậy $\frac{r1}{r}+\frac{r2}{r}+\frac{r3}{r}=\frac{AF+F F'+F'B}{AB}=1$ (đpcm).
    Bài viết hay quá nè bạn ơi............................

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này