Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Bat dang thuc

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    130
    Cám ơn (Đã nhận)
    62


    Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+1=z$. Tìm GTLN của $P = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{\left( {x + yz} \right)\left( {y + xz} \right){{\left( {z + xy} \right)}^2}}}$

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi changkho1997 Xem bài viết
    Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+1=z$. Tìm GTLN của $P = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{\left( {x + yz} \right)\left( {y + xz} \right){{\left( {z + xy} \right)}^2}}}$
    Từ giả thiết của bài toán ta có:
    \[\left\{\begin{matrix} x+yz=yz-y+z-1=(z-1)(y+1)\\ y+zx=zx-x+z-1 = (z-1)(x+1)\\ z+xy=xy+x+y+1 = (x+1)(y+1) \end{matrix}\right.\]
    Do đó:
    \[P=\frac{x^3y^3}{(z-1)^2(x+1)^3(y+1)^3} = \frac{x^3y^3}{(x+y)^2(x+1)^3(y+1)^3}\]
    Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\left\{\begin{matrix}
    x+y \geq 2xy\\
    x+1 \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{4}}\\
    y+1 \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{4}}
    \end{matrix}\right.$
    Suy ra: \[P \leq \dfrac{x^3y^3}{4xy.\dfrac{27}{4}x^2\dfrac{27}{4}y^ 2} = \frac{4}{729}\]
    Vậy $P_{max}=\frac{4}{729}$ khi và chỉ khi $x=y=2;z=5$

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này