Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x,y,z \geq - 1$ và $x+y+z=3$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[P=\dfrac{x^2}{x^2+y^2+4(xy+1)}+\dfrac{y^2-1}{z^2-4z+5}\]
Lời giải:

Do $x,y,z \geq - 1$ nên : $(x+1)(y+1) \geq 0 \Leftrightarrow xy+1 \geq -(x+y)$
Từ đó ta có:
\[\begin{matrix} x^2+y^2+4(xy+1) & = (x+y)^2+2(xy+1)+2 \\ & \geq (x+y)^2-2(x+y)+2 \\ & = (x+y-1)^2+1 ~~~~~~~~~. \end{matrix}\]
Và: \[z^2-4z+5 = (z-2)^2+1 = (x+y-1)^2+1\]
Suy ra:
\[P=\dfrac{x^2}{x^2+y^2+4(xy+1)}+\dfrac{y^2-1}{z^2-4z+5} \\ \leq \dfrac{x^2+y^2-1}{(x+y-1)^2+1} = \dfrac{(x+y)^2-2(xy+1)+1}{(x+y-1)^2+1} \\ \leq \dfrac{(x+y+1)^2}{(x+y-1)^2+1}\]
Đặt $a+b-1=t$ Điều kiện $ -3 \le t \le 2$
\[\Rightarrow P \leq \dfrac{(t+2)^2}{t^2+1} = 1+\dfrac{4t+3}{t^2+1} \\ \leq 1+\dfrac{4t+3}{\left | t \right |+\dfrac{3}{4}} \leq 1+\dfrac{4t+3}{t+\dfrac{3}{4}} = 5\]
Vậy $P_{min}=5$ khi và chỉ khi: $\left\{\begin{matrix}
x+y+z = 3\\
(x+1)(y+1) = 0\\
x+y-1 = \dfrac{1}{2}
\end{matrix}\right.$