Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2

Chủ đề: Chứng minh

  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    130
    Cám ơn (Đã nhận)
    62


    Cho $ a,b,c >0$ và đôi một khác nhau. CMR:$\left| {\frac{a}{{b - c}}} \right| + \left| {\frac{b}{{a - c}}} \right| + \left| {\frac{c}{{b - a}}} \right| \ge 2$
    help me

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi changkho1997 Xem bài viết
    Cho $ a,b,c >0$ và đôi một khác nhau. CMR:$\left| {\frac{a}{{b - c}}} \right| + \left| {\frac{b}{{a - c}}} \right| + \left| {\frac{c}{{b - a}}} \right| \ge 2$
    help me
    Đặt: $$ \dfrac{a}{b-c}=x; \dfrac{b}{c-a}=y; \dfrac{c}{a-b}=z $$
    Ta có: \[(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1) \Leftrightarrow xy+yz+zx = -1\]
    Ta cần chứng minh: \[\left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right | \geq 2 \\ \Leftrightarrow \left ( \left | x \right |+\left | y \right |+\left | z \right | \right )^2 \geq 4 \\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left (\left | xy \right | + \left | yz \right | + \left | zx \right | \right ) + 4 \left ( xy+yz+zx \right ) \geq 0 \\ \Leftrightarrow (x+y+z)^2+2 \left ( \left | xy \right | + \left | yz \right | + \left | zx \right | + xy+yz+zx \right ) \geq 0\]
    Bất đẳng thức được chứng minh do \[\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^2 \geq 0\\ \left | xy \right |+xy \geq 0 \\ \left | yz \right |+yz \geq 0\\ \left | zx \right |+zx \geq 0 \end{matrix}\right.\]
    Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{\begin{matrix} x+y+z = 0\\ xy \leq 0 \\ yz \leq 0\\ zx \leq 0 \\ xy+yz+zx = -1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0, y=-z=1\\ y=0, z=-x=1\\ z=0, x=-y=1 \end{matrix}\right.\]

    hay $a=0, b= \pm c$ hoặc các hoán vị của nó !

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này