Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 8 của 8
  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227


    HƯỚNG TỚI KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015[Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
    Người học trò hay nhất của tôi là người không bao giờ đồng ý với tôi.

  2. Cám ơn Đặng Thành Nam, lequangnhat20, materazzi, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Ngã Nhậm Hành's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    Trường THPT Thái Lão - Hưng Nguyên
    Bài viết
    177
    Cám ơn (Đã nhận)
    227
    Câu 9. Lượng giác hóa tí.
    Từ giả thiết $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 \Rightarrow :\frac{1}{x}=tan\frac{A}{2};\frac{1}{y}=tan\frac{B }{2};\frac{1}{z}=tan\frac{C}{2}$.
    Khi đó BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{1}{tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}} \geq 3+\sum \frac{1}{sin\frac{A}{2}}$.
    Mặt khác ta có $\frac{1}{tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}}-1=\frac{cos\frac{A+B}{2}}{sin\frac{A}{2}sin\frac{B }
    {2}}=\frac{1}{sin\frac{B}{2}}$.
    Tương tự cho hai em còn lại bài toán được chứng minh xong.
    Cách 2.
    + Ta có $3xyz\left ( x+y+z \right )\leq \left ( xy+yz+zx \right )^2$
    + Mặt khác
    $\left ( \sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2} \right )^2\leq 3\left ( x^2+y^2+z^2+3 \right )$
    $=3\left [ \left ( x+y+z \right )^2-6\left ( xy+yz+zx \right )+9 \right ]\leq \left ( xy+yz+zx-3 \right )^2$
    $\Leftrightarrow 3xyz\left ( x+y+z \right )\leq \left ( xy+yz+zx \right )^2$
    Sửa lần cuối bởi Ngã Nhậm Hành; 03/01/15 lúc 03:59 PM.
    Người học trò hay nhất của tôi là người không bao giờ đồng ý với tôi.

  4. Cám ơn lequangnhat20, materazzi, Đinh Xuân Hùng đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator materazzi's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TTGDTX Bình Chánh
    Tuổi
    28
    Bài viết
    52
    Cám ơn (Đã nhận)
    108
    Câu 9. Đặt $ \displaystyle a= \frac{1}{xy} > 0 \ ; \ b= \frac{1}{yz} >0 \ ; \ c = \frac{1}{zx} >0 $. Từ giả thiết đề bài có
    $$ a+b+c=1 $$
    Và $ \displaystyle x^2 = \frac{b}{ca} \ ; \ y^2 = \frac{c}{ab} \ ; \ z^2 = \frac{a}{bc} $.

    Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
    $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c } \ge 3 + \sqrt{1+\frac{a}{bc}} + \sqrt{1 + \frac{b}{ca}} + \sqrt{1+ \frac{c}{ab}} \quad{(1)} $$
    Ta cần chứng minh bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $.

    Dùng AM-GM có
    $$\sum \sqrt{1+\frac{a}{bc}} = \sum \sqrt{\frac{ \left(a+b \right) \left( a+c \right)}{bc}} \le \frac{1}{2} \sum \left( \frac{a+b}{c} + \frac{a+c}{b} \right) = \sum \left( \frac{b+c}{a} \right)$$
    Từ đó, ta thấy
    $$ \text{VP} _{1} \le \sum \left( \frac{b+c}{a} + 1 \right) = \frac{1}{a } + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \text{VT}_{1} $$
    Từ đó có được điều cần chứng minh.

  6. Cám ơn binhnhaukhong, cuong18041998, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    $$\huge x\sqrt{yz}\ge 1+\sqrt{x^2+1}$$
    Sửa lần cuối bởi khanhsy; 04/01/15 lúc 12:34 PM.

  8. #5
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Từ điều kiện bài toán ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$
    Giả sử $(a;b;c)\sim(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\ Rightarrow ab+bc+ac=1$
    Bất đnagử thức cần chứng minh viết lại là $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 3+\sum\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}$
    $\Leftrightarrow a+b+c\geq 3abc+\sum bc\sqrt{a^2+1} $
    Có $bc\sqrt{a^2+1}=bc(a+b)(a+c)\leq\frac{2abc+bc(b+c) }{2}$
    Bất đẳng thức ban đầu chỉ đúng nếu ta chỉ ra được
    $(a+b)+(b+c)+(a+c)\geq 12abc+\sum bc(b+c)$
    Mà $(b+c)(1-bc)=a(b+c)^2\geq 4abc$
    Từ đó ta có ĐPCM

  9. Cám ơn longatk08 đã cám ơn bài viết này
  10. #6
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    9
    Bạn nào giải bài hệ mình xem với

  11. #7
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi longatk08 Xem bài viết
    Bạn nào giải bài hệ mình xem với
    Bạn hãy nhìn $(1)$ thấy ngay nếu cho $x=y$ thì luôn đúng. Vì thế tự tin binh phương ở $(1)$

  12. #8
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Jan 2015
    Tuổi
    21
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0
    câu 8 chuyển vế liên hợp

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này