Bài tập đa thức
1) Cho đa thức f(x) = x4 + 4x3 - 2x2 - 12x + 1
Tính xi là nghiệm và n là số nghiệm của đa thức.
2) Giải phương trình:
.
3) hay không hai đa thức P(x) và Q(x) có hệ số thực sao cho
.
4) Cho x = p, y = q, z = r, w = s là nghiệm duy nhất của nhóm phương trình bậc 1 : x + aiy + ai2z + ai3w = ai4 i = 1,2,3,4
Hãy tìm nghiệm của nhóm phương trình:
x + ai2y + ai4z + ai6w = ai8 i = 1,2,3,4 theo p,q,r,s.
5) Cho đa thức f(x) = ax3 + 27x2 + 12x + 2015 có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi đa thức sau có bao nhiêu nghiệm thực
g(x) = 4(ax3 +27x2 +12x +2015)(3ax +27) - (3ax2 + 54x +12)2
6) Cho đa thức f(x) = x2017 + ax2 + bx + c với a,b, c
có 3 nghiệm nguyên x1, x2, x3 .
CMR: (a2017 + b2017 + c2017 + 1) ( x1 – x2)( x2 – x3)(x3 – x1) 2017
7) Tìm tất cả các số nguyên dương m, n sao cho đa thức
f(x) = x3 – 17x2 + mx – n2 có tất cả các nghiệm đều nguyên.
8) Cho đa thức f(x) = x3 – 6x2 + 9x . Ký hiệu fk(x) = f(fk-1(x)) với
. Xét xem phương trình f7(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?
9) Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d . Ký hiệu f(n)(x) là đạo hàm
cấp n. CMR nếu f(x) > 0 , thì
F(x) = f(x) + f(1)(x) + f(2)(x) + f(3)(x) + f(4)(x) > 0 ,
10) Tìm các đa thức có deg > o với hệ số hửu tỷ có GTNN là
CMR không tồn tại đa thức bậc 4 với hệ số nguyên có GTNN là .
11) Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực sao cho với mọi x ta có:
P(x) P(2x2 – 1) = P(x2)P(2x -1).