Bài kiểm tra đa thức sáng ngày 22/10/2014
(Thời gian 3h)
(4 điểm) Cho đa thức Q(x) = x3 + 19x2 + 99x + a a ∈ Z.
CMR: Với mọi số nguyên tố p ≥5 , trong dãy số nguyên
Q(0), Q(1), Q(2),….,Q(p -1) không thể có hơn 3 số chia hết cho p.
( 4 điểm) Xác định các đa thức P(x) có bậc nhỏ nhất với các hệ số nguyên không âm sao cho với mỗi số nguyên dương n thì 4n + P(n) chia hết cho 27.
(6 điểm) Xét đa thức Pn (x) = C_n^2 + C_n^5 x + C_n^8x2 + … + C_n^(3k+2)xk, với n ≥2 là một số tự nhiên và k = [(n-2)/3].
CMR: Pn+3 (x) = 3Pn+2(x) – 3Pn+1(x) + (x+1)Pn(x).
Tìm tất cả các số tự nhiên a sao cho Pn(a3) chia hết cho 3^[(n-1)/2] với mọi n≥2.
( 6 điểm) Cho số nguyên n ≥2 và đa thức có các hệ số nguyên dương
P(x) = xn + an-1xn-1 + ….+ a1x + 1. Giả sử ak = an-k với mọi k = 1,2,…, n-1.
CMR: tồn tại vô số các cặp số nguyên dương x, y sao cho x| P(y)
và y| P(x).