Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53


    Cho a,b,c dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$
    Chứng minh: $\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+b+c}}+\sqrt{\frac{b^{2}} {b^{2}+a+c}}+\sqrt{\frac{c^{2}}{c^{2}+a+b}}$ $\leq$ $\sqrt{3}$

  2. #2
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng:
    $\sum \frac{a\sqrt{1+b+c}}{\sqrt{(a^2+b+c)(1+b+c)}}\leq \sqrt{3}$
    Theo BĐT Cauchy Schwarz ta có:$(a^2+b+c)(1+b+c)\geq (a+b+c)^2$
    Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng:
    $\frac{a\sqrt{1+b+c}+b\sqrt{1+a+c}+c\sqrt{1+a+b}}{ a+b+c}\leq \sqrt{3}$
    Ta có $VT=\frac{\sum \sqrt{a}.\sqrt{a(1+b+c)}}{a+b+c}\leq \frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b+c+2ab+2bc+2ac)}}{a+b+c}$
    $\Rightarrow VT\leq \sqrt{1+\frac{2(ab+bc+ac)}{a+b+c}}\leq \sqrt{1+\frac{2(a+b+c)}{3}}\leq \sqrt{3}$(do $(a+b+c)\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$)

  3. Cám ơn lilac, Hoang Long Le đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này