Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    63
    Cám ơn (Đã nhận)
    53

  2. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi lilac Xem bài viết
    Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn: xyz=1:
    Chứng minh:
    $$ \frac{1}{x^{2}-x+1} + \frac{1}{y^{2}-y+1} + \frac{1}{z^{2}-z+1} \leq 3$$
    Trước tiên ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
    \[\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c +1} \geq 1 (*) \]
    Với $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn $abc=1$.
    Do $abc=1$ nên tồn tại 3 số dương $m,n,p$ thỏa mãn: $a=\frac{mp}{n^2};b=\frac{np}{m^2};c=\frac{mn}{p^2 }$
    Bất đẳng thức trở thành:
    \[\frac{n^4}{m^2p^2+n^2mp+n^4}+\frac{m^4}{n^2p^2+nm^ 2p+m^4}+\frac{p^4}{n^2m^2+nmp^2+p^4} \geq 1\]
    Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[VT \geq \frac{(n^2+m^2+p^2)^2}{n^4+m^4+p^4+mnp(m+n+p)+m^2n ^2+n^2p^2+p^2m^2} \geq 1\]
    Bất đẳng thức $(*)$ đã được chứng minh !
    Đặt $a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2} \Rightarrow xyz=1$
    Bất đẳng thức $(*)$ trở thành:
    \[\frac{x^4}{x^4+x^2+1}+\frac{x^4}{y^4+y^2+1}+\frac{ z^4}{z^4+z^2+1} \geq 1 \\ \Leftrightarrow \frac{2(x^2+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}+\frac{2(y^2+1)}{(y^2+y+1)(y^2-y+1)} + \frac{2(z^2+1)}{(z^2+z+1)(z^2-z+1)} \leq 4 \\ \Leftrightarrow \sum \left (\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2-x+1} \right ) \leq 4 \\ \Leftrightarrow \sum \frac{1}{x^2-x+1} \leq 4-\left (\sum \frac{1}{x^2+x+1} \right ) \leq 3\]
    Suy ra điều phải chứng minh !

  3. Cám ơn lequangnhat20, lilac đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này