Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    0


    cho các số thực dương x ,y ,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3
    tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{x^2 + xy}{5 - z^2} + \frac{y^2 + yz}{5 - x^2} + \frac{z^2 + zx}{5 - y^2}$

  2. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi lovemirror Xem bài viết
    cho các số thực dương x ,y ,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 3
    tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = $\frac{x^2 + xy}{5 - z^2} + \frac{y^2 + yz}{5 - x^2} + \frac{z^2 + zx}{5 - y^2}$
    Biểu thức tương đương:
    \[P=\frac{x(x+y)}{x^2+y^2+2}+\frac{y(y+z)}{y^2+z^2+2 }+\frac{z(z+x)}{z^2+x^2+2}\]
    Áp dụng mất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\frac{8x(x+y)}{x^2+y^2+2} \leq \frac{(3x+y)^2}{x^2+y^2+2} \leq \frac{x^2}{x^2}+\frac{x^2}{1}+\frac{x^2}{1}+\frac{ y^2}{y^2} = 2x^2+2\]
    Tương tự suy ra:
    \[8P \leq 2\left (x^2 + y^2+z^2 \right )+6 = 12 \Leftrightarrow P \leq \frac{3}{2}\]
    Vậy $P_{max}=\frac{3}{2}$ Khi $x=y=z=1$

  3. Cám ơn Trần Duy Tân, Việt Cồ, lequangnhat20, Hoang Long Le đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Thành Viên Việt Cồ's Avatar
    Ngày tham gia
    Dec 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    4
    Cám ơn (Đã nhận)
    4
    Trích dẫn Gửi bởi HongAn39 Xem bài viết
    Biểu thức tương đương:
    \[P=\frac{x(x+y)}{x^2+y^2+2}+\frac{y(y+z)}{y^2+z^2+2 }+\frac{z(z+x)}{z^2+x^2+2}\]
    Áp dụng mất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có:
    \[\frac{8x(x+y)}{x^2+y^2+2} \leq \frac{(3x+y)^2}{x^2+y^2+2} \leq \frac{x^2}{x^2}+\frac{x^2}{1}+\frac{x^2}{1}+\frac{ y^2}{y^2} = 2x^2+2\]
    Tương tự suy ra:
    \[8P \leq 2\left (x^2 + y^2+z^2 \right )+6 = 12 \Leftrightarrow P \leq \frac{3}{2}\]
    Vậy $P_{max}=\frac{3}{2}$ Khi $x=y=z=1$
    Sao bạn không làm thế này chẳng phải dễ hơn
    $\frac{x(x+y)}{x^{2}+y^{2}+2}\leq \frac{x(x+y)}{2x+2y}=\frac{x}{2}$
    Suy ra $P\leq \frac{x+y+z}{2}\leq \frac{\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}{2}=\frac{3}{2}$

  5. Cám ơn lequangnhat20, Hoang Long Le đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này