Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Đại học Y Hà Nội
    Tuổi
    20
    Bài viết
    97
    Cám ơn (Đã nhận)
    141


    Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\left( {x + y - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)\left( {y - x + 1} \right) \ge 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{2{x^2}}}{{x + y + 1}} + \frac{{2{y^2}}}{{2\sqrt {xy} + 1}} + \sqrt {x + y + 2}$

    Sửa lần cuối bởi tinilam; 19/09/14 lúc 10:31 PM.

  2. #2
    Nhanh thế thím , giờ muốn học bđt mua sách nào nhỉ

  3. #3
    Moderator Nguyễn Minh Đức's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Tĩnh
    Ngày sinh
    02-16-1998
    Bài viết
    83
    Cám ơn (Đã nhận)
    94
    Trích dẫn Gửi bởi Nguyễn Văn Quốc Tuấn Xem bài viết
    Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\left( {x + y - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)\left( {y - x + 1} \right) \ge 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{2{x^2}}}{{x + y + 1}} + \frac{{2{y^2}}}{{2\sqrt {xy} + 1}} + \sqrt {x + y + 2}$


    Tóm tắt lời giải:
    Từ giả thiết bài toán ta có thể suy ra $$xy \ge 1 \Rightarrow x+y \ge 2\sqrt{xy} \ge 2$$.
    Có thể chứng minh đánh giá $abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$ để đánh giá điều kiện trên cho tiện!
    Áp dụng BĐT AM-GM ta suy ra:
    $P = \frac{2x^2}{x + y + 1} +\dfrac{2y^2}{\sqrt{xy}+ 1} + \sqrt{x + y + 2}\\ \frac{2x^2}{x + y + 1} +\dfrac{2y^2}{x+y+ 1} + \sqrt{x + y + 2}\\ =\dfrac{2(x^2+y^2)}{x+y+1}+\sqrt{x+y+2} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x+y+1} +\sqrt{x+y+2}$
    Đặt $x+y=t$ suy ra $t \in [2;+\propto)$.
    Khi đó ta suy ra:
    $$P \ge \frac{t^2}{t+1}+\sqrt{t+2}=f(t)$$
    Xét hàm $f(t)=\frac{t^2}{t+1}+\sqrt{t+2}$ trên $[2;+\propto)$.Ta tìm được:
    $$Min_P=\frac{10}{3} \Leftrightarrow x=y=1$$

    Sửa lần cuối bởi Nguyễn Minh Đức; 18/08/14 lúc 11:50 AM.

  4. #4
    Thành viên VIP Mr_Trang's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hải Dương - Hà Nội
    Tuổi
    24
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    36
    Trích dẫn Gửi bởi Nguyễn Văn Quốc Tuấn Xem bài viết
    Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $\left( {x + y - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)\left( {y - x + 1} \right) \ge 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{{2{x^2}}}{{x + y + 1}} + \frac{{2{y^2}}}{{2\sqrt {xy} + 1}} + \sqrt {x + y + 2}$

    Từ điều kiện: $1\le(x+y-1)(x-y+1)(y-x+1)$
    $\le^{AM-GM} (x+y-1)\frac{(x-y+1+y-x+1)^2}{4}\Leftrightarrow x+y\ge 2$

    $P=\frac{2x^2}{x+y+1}+\frac{2y^2}{2\sqrt{xy}+1}+ \sqrt{x+y+2}$

    Theo $AM-GM$ ta có:
    $P\ge \frac{2x^2}{x+y+1}+\frac{2y^2}{x+y+1}+\sqrt{x+y+2} $
    $P\ge \frac{(x+y)^2}{x+y+1}+\sqrt{x+y+2}=\frac{t^2}{t+1} +\sqrt{t+2}$ với $t=x+y\ge 2$

    Khảo sát hàm số trên là xong! Lười tính


 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này