Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    238

  2. Cám ơn HongAn39, Unknowing đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Ban quản trị hungchng's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    238
    Trích dẫn Gửi bởi hungchng Xem bài viết
    Đề 2 boxmath 2015 (bài 9)
    [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]
    materazzi

    Câu 9.

    Dùng AM - GM có
    $$ z^3+8+8 \ge 12 z $$
    Suy ra
    $$ \frac{z^3+16}{12z \left( xy+1 \right)} \ge \frac{1}{1+xy} \ge \frac{4}{4+ \left( x+y \right)^2} $$
    Tiếp theo , dùng Cauchy - Schwarz có
    $$ \frac{x}{y+1} + \frac{y}{x+1} \ge \frac{ \left( x+y \right)^2}{2xy+x+y} \ge \frac{2 \left( x+y \right)}{ 2 + \left( x+y \right)} $$
    Như vậy nếu đặt $ \displaystyle t= x+y >0 $ thì
    $$ P \ge \frac{2t}{t+2} + \frac{4}{t^2+4} $$
    Từ điều kiện đề bài có
    $$ \left( x+y \right)^3 + \left( x+y \right) = 3 \left( x^2+y^2 \right) + 2xy + \left( z-2 \right)^2+2 \ge 2 \left( x+y \right)^2 +2 $$
    Hay
    $$ \left( t-2 \right) \left( t^2+1 \right) \ge 0 $$
    Suy ra
    $$ t \ge 2 $$
    Như vậy
    $$ P \ge \frac{2t}{t+2} + \frac{4}{t^2+4} = \frac{3}{2} + \frac{\left( t-2 \right)^3}{ 2 \left( t+2 \right) \left( t^2+4 \right)} \ge \frac{3}{2} $$
    Tại $ \displaystyle x=y=1 \ ; \ z=2 $ thì đẳng thức xảy ra .

    Vậy
    $$ \min P =\frac{3}{2} $$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này