1. Chứng minh rằng mọi đa thức đơn khởi bậc 2n đều có thể viết dưới dạng q2 + r với q, r là các đa thức và deg(r) < n.

2. Tìm dư trong phép chia x100 – 2x51 + 1 cho x2 – 1.

3. Tìm a, b sao cho (x-1)2 | ax4 + bx3 + 1.

4. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên phân biệt a, b, c sao cho P(a) = b, P(b) = c, P(c) = a.

5. Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên. Biết rằng P(2) chia hết cho 5 và P(5) chia hết cho 2. Chứng minh rằng P(7) chia hết cho 10.
6, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:
C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì: $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

7. (Mỹ 1976) Giả sử P(x), Q(x), R(x) và S(x) thoả mãn đồng nhất thức
P(x5) + xQ(x5) + x2R(x5) = (x4+x3+x2+x+1)S(x)
Chứng minh rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-1.

8. Với những giá trị nào của n ta có
a) x2 + x + 1 | (x-1)n – xn – 1 b) x2 + x + 1 | (x+1)n + xn + 1