Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    22
    Bài viết
    24
    Cám ơn (Đã nhận)
    20

  2. #2
    Thành viên VIP Ntspbc's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Tuổi
    20
    Bài viết
    85
    Cám ơn (Đã nhận)
    149
    Trích dẫn Gửi bởi ĐểGióCuốnĐi Xem bài viết
    Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$
    Tìm giá trị lớn nhất $P=2x^3+y^3+z^3$
    Mình nhớ đây là đề thi thử của chuyên đại học vinh lần 3 hay 4 gì đó. Hồi đó chém sai mà mấy ông thầy vẫn cho 0,75đ :v
    Đầu tiên ta có BĐT sau với $a,\ b$ không âm: $\sqrt{1+a}+ \sqrt{1+b} \geq 1+ \sqrt{1+a+b}$
    Đẳng thức xảy ra khi $ab=0$.
    Áp dụng ta có $\begin{align} 5=\sqrt{x^2+1}+ \sqrt{2y+1}+ \sqrt{2z+1}&\geq 1+\sqrt{1+x^2+2y}+ \sqrt{1+2z} \\ &\geq 2+ \sqrt{1+x^2+2y+2z}.\end{align}$
    Suy ra $x^2+2y+2z \leq 8,$ hay $y+z \leq 4-\dfrac{x^2}{2}. \ \ \ \ \ (1)$
    suy ra $P \leq 2x^3+ (y+z)^3 \leq 2x^3+ (4-\dfrac{x^2}{2})^3$
    Từ $(1)$ và giả thiết ta suy ra $0\leq x\leq 2\sqrt{2}$
    Xét hàm số $f(x) = 2x^3+ (4-\dfrac{x^2}{2})^3$ trên $[0; 2\sqrt{2}]$. Ta có
    $\ \ \ \ \ \ \ \ \ f’(x) = 6x^2 – 3x(4-\dfrac{x^2}{2})^2 = \dfrac{3}{4}x(x-2)[x(12-x^2)+ 2(16-x^2)]$
    Do $x\in [0; 2\sqrt{2}]$ nên $f’(x) =0 \iff x=0$ hoặc $x=2.$
    Suy ra $max f(x)=max \{f(0), f(2), f(2\sqrt{2})\}=f(0)=64$
    Từ đây ta suy ra $P\leq 64$ khi $x=y=0, z=4$ hoặc $x=z=0, y=4.$

  3. Cám ơn HongAn39, lequangnhat20,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này