Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Chốn ăn bám mẹ
    Tuổi
    20
    Bài viết
    406
    Cám ơn (Đã nhận)
    262


    Cho \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\] và $a,b,c >0$
    CMR:
    \[\frac{a}{{{a^2} + 2b + 3}} + \frac{b}{{{b^2} + 2c + 3}} + \frac{c}{{{c^2} + 2a + 3}} \le \frac{1}{2}\]

    Bài toán thi thử HSG THPT Đô Lương
    \[{E^{{V^{{E^{{R^{{Y^{{T^{{H^{{I^{{N^{{G_{{I_{{S_{{A _{{W_{{E_{{S_{{O_{{M_E}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}{!_{{E_{{V_{{E_{{R_Y}_{{T_ {{H_{{I_{{N_{{G^{{I^{{S^{{A^{{W^{{E^{{S^{{O^{{M^E} !}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}}!}!}}!}}!}}!}} !\]

  2. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi Trần Duy Tân Xem bài viết
    Cho \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\] và $a,b,c >0$
    CMR:
    \[\frac{a}{{{a^2} + 2b + 3}} + \frac{b}{{{b^2} + 2c + 3}} + \frac{c}{{{c^2} + 2a + 3}} \le \frac{1}{2}\]

    Bài toán thi thử HSG THPT Đô Lương
    Áp dụng $AM-GM$ ta có
    $$\sum_{cyc}\dfrac{a}{a^2+2b+3}\le \sum_{cyc} \dfrac{a}{2(a+b+1)}$$
    Do đó bất đẳng thức đúng khi ta cần chứng minh
    $$\sum_{cyc}\dfrac{b+1}{a+b+1}\ge 2$$
    Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng khi $a^2+b^2+c^2=3$ vì theo Cauchy-Schwarz ta có
    $$\sum_{cyc}\dfrac{b+1}{a+b+1}\ge \dfrac{(a+b+c+3)^2}{(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2+a(b+1) +b(c+1)+c(a+1)}=2$$
    Hoàn tất chứng minh

  3. Cám ơn Trần Duy Tân đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này