Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 8 của 8
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    31
    Cám ơn (Đã nhận)
    14

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    162
    Cám ơn (Đã nhận)
    310
    Trích dẫn Gửi bởi cudinh Xem bài viết
    Nhờ các bạn giải giúp bất đẳng thức sau.
    Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $ab+bc+ca-2abc\leq\frac{7}{27}.$
    $$9abc\ge (a+b+c)[4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2]$$

  4. Cám ơn cudinh, cuong18041998 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức davidsilva98's Avatar
    Ngày tham gia
    Nov 2014
    Đến từ
    THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
    Tuổi
    20
    Bài viết
    11
    Cám ơn (Đã nhận)
    25
    Trích dẫn Gửi bởi cudinh Xem bài viết
    Nhờ các bạn giải giúp bất đẳng thức sau.
    Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $ab+bc+ca-2abc\leq\frac{7}{27}.$
    Đặt $f\left ( a,b,c \right )=ab+bc+ca-2abc$.

    Do $a,b,c$ như nhau nên giả sử $c=min\begin{Bmatrix}
    a,b,c
    \end{Bmatrix}\Rightarrow c\leq \frac{1}{3}$. Khi đó ta có $$f\left (\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2};c \right )-f\left ( a,b,c \right )=ab-\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}-2c\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2}=\frac{(a-b)^{2}(2c-1)}{4}\leq 0$$
    Do đó ta chỉ cần chứng minh $$f\left (\frac{a+b}{2};\frac{a+b}{2};c \right )\leq \frac{7}{27}$$
    Đặt $t=\frac{a+b}{2}\Rightarrow c=1-2t\;\left ( 0\leq t\leq \frac{1}{2} \right )$. Dẫn đến bđt trên tương đương $$f\left (t,t,1-2t \right )\leq \frac{7}{27}\Leftrightarrow t^{2}+2t(1-2t)-2t^{2}(1-2t)\leq \frac{7}{27}\Leftrightarrow \left ( t-\frac{1}{3} \right )^{2}(12t-7)\leq 0$$
    Điều này đúng do $t\leq \frac{1}{2}$. Vậy chứng minh hoàn tất

  6. Cám ơn cudinh đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Theo mình thì bài này chưa cần phải dùng đến PP dồn biến đâu,chỉ cần dùng bđt Schur thôi!

  8. #5
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    65
    Cám ơn (Đã nhận)
    131
    Trích dẫn Gửi bởi binhnhaukhong Xem bài viết
    Theo mình thì bài này chưa cần phải dùng đến PP dồn biến đâu,chỉ cần dùng bđt Schur thôi!
    Nói như bạn nó còn một cách còn đơn giản hơn nữa

  9. #6
    Thành Viên Chính Thức hahahaha1's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Bài viết
    6
    Cám ơn (Đã nhận)
    12
    Trích dẫn Gửi bởi cudinh Xem bài viết
    Nhờ các bạn giải giúp bất đẳng thức sau.
    Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=1$. Chứng minh $ab+bc+ca-2abc\leq\frac{7}{27}.$
    C1:
    $c=min[a;b;c] => c \le \frac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$
    $$ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+(1-2c)ab \le c(1-c)+(1-2c)(\dfrac{(a+b)^2}{4})$$
    $$=c(1-c)+(1-2c)(\dfrac{(1-c)^2}{4})$$
    $$\frac{7}{27}-c(1-c)-(1-2c)(\dfrac{(1-c)^2}{4})=\dfrac{1}{108}(3c-1)^2(6c+1) \ge 0$$
    "Buffalo"
    $c=min[a;b;c]$. Đặt: $a=c+t;b=c+v (v,t \ge 0)$
    $$7(a+b+c)^3-27[(a+b+c)(ab+bc+ca)-2abc] \ge 0$$
    $$<=> 9c(t^2-tv+v^2)+(v+t)[7(v-t)^2+vt] \ge 0$$
    You gotta deal with it

  10. Cám ơn cudinh, HongAn39, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  11. #7
    Thành Viên Nhiệt Huyết binhnhaukhong's Avatar
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Đến từ
    THPT Vân Nội
    Bài viết
    117
    Cám ơn (Đã nhận)
    119
    Trích dẫn Gửi bởi Đặng Thành Nam Xem bài viết
    Nói như bạn nó còn một cách còn đơn giản hơn nữa
    Em thấy bài này dấu = xảy ra tại tâm nên chỉ cần dùng các BĐT cổ điển thôi thầy ạ!Chẳng hạn ở đây em dùng đánh giá:

    $(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)\leq abc$

  12. Cám ơn hoanglong2k đã cám ơn bài viết này
  13. #8
    Thành Viên Chính Thức hai_van's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    17
    Cám ơn (Đã nhận)
    20
    BĐT $\Leftrightarrow a(b+c-2bc)+bc \le \frac{7}{27}$

    Giả sử $a \ge b \ge c$

    $\Rightarrow \frac{1}{3} \le a \le 1$

    Xét hàm số $f(a)=a(b+c-2bc)+bc$

    b+c-2bc>0 --->Hàm ĐB

    $\Rightarrow f(a) \le f(1)=-bc \le 0$

    b+c-2bc=0

    $\Rightarrow f(a)=bc \le \frac{1}{3}$

    b+c-2bc<0 --->Hàm NB

    $\Rightarrow f(a) \le f(\frac{1}{3}) \le \frac{7}{27}$

    $\Rightarrow$ đpcm




    Hoặc:

    $ab+bc+ca-2abc \le ab+bc+ca-\frac{2[4(ab+bc+ca)-1]}{9}$

    $=\frac{ab+bc+ca}{9}+\frac{2}{9} \le \frac{(a+b+c)^2}{27}+\frac{6}{27}=\frac{7}{27}$

  14. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này

Không có

Xem Nhóm Tag