Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Oct 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    3
    Cám ơn (Đã nhận)
    1


    Hỏi ai có thể cho ta một lần được ngoái đầu nhìn lại

  2. #2
    Super Moderator lequangnhat20's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    583
    Cám ơn (Đã nhận)
    885
    Trích dẫn Gửi bởi Tử Hàn Xem bài viết
    Cho a,b,c,d là các số dương đôi 1 khác nhau, CMR:
    $\sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}<\sqrt{\frac{ab+ac+ad+b c+bd+cd}{6}}$
    1 lời giải trong cuốn Cauchy-Schwarz của anh Cẩn:

    Chuẩn hóa ab+ac+ad+bc+bd+cd=6

    Bất đăng thức cần chứng minh là

    $abc+bcd+cda+dab \le 4$

    Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c≥d. Theo C-S ta có

    $VT^{2}\le (ab+bc+cd+da)(abc^{2}+bcd^{2}+cda^{2}+dab^{2})=(ab +bc+cd+da)[ac(bc+da)+bd(ab+cd)]$

    Mặt khác do a≥b≥c≥d nên ac≥bd và

    $(bc+da)-(ab+cd)=-(a-c)(b-d)\le 0$

    Sử dụng bdt Chebyshev ta có

    $ac(bc+da)+bd(ab+cd) \le \frac{(ac+bd)(bc+da)+(ab+cd)}{2}$

    Từ (1) và (2) ta có

    $(abc+bcd+cda+dab)^{2}\le \frac{(ab+bc+cd+da)^{2}(ac+bd)}{2}=\frac{(6-ac-bd)^{2}(ac+bd)}{2}$

    Ta cần chứng minh:

    $(6-ac-bd)^{2}(ac+bd) \le 32$

    Theo bdt AM-GM ta có:

    $VT=\frac{(6-ac-bd)^{2}(2ac+2bd)}{2} \le \frac{1}{2}[\frac{2(6-ac-bd)+(2ac+2bd)}{3}]^{3}=32$


    => đpcm

    Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
    NHẬT THUỶ IDOL

  3. Cám ơn quỳnh như, ayefany đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này